Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
306
Глава 4
Определитель |А| = - 1, если преобразование включает в себя отражение
нечетного числа (одной или трех) координатных осей. Примером
псевдотензора является антисимметричный единичный псевдотензор IV ранга
егк1т. Он определяется условиями:
а) компоненты егк1т меняют знак при перестановке любой пары значков
(это условие, как и в трехмерном пространстве, обращает в нуль все
компоненты, у которых имеется два или больше совпадающих значков);
б) е0123 = 1;
в) правилом (4.27) перехода в другую систему координат.
Эти правила приводят к тому, что егк1т оказывается инвариантным
псевдотензором: в любой системе координат
^riklm _ ^iklm ^
Дуальные тензоры. С помощью тензора егк1т можно строить новые тензоры.
Так, произвольному ковариантному 4-вектору Вш можно сопоставить
антисимметричный тензор III ранга
ВгЫ = егк1тВш. (4.29)
Антисимметричный ковариантный тензор II ранга Aim = -Ami можно превратить
в другой антисимметричный тензор
Агк = (1/2 )егк1шА1ш. (4.30)
Наконец, из компонент антисимметричного тензора III ранга можно построить
вектор
Г = (l/3\)eMmJklm. (4.31)
Во всех трех случаях дело сводится к переименованию компонент исходных
тензоров. Пары тензоров с тильдой и без нее называются дуальными друг
другу В дуальные пары могут входить только антисимметричные тензоры. Если
в правые части двух последних равенств подставить тензоры с произвольной
симметрией, то их симметричные части при суммировании дадут нулевой
вклад, и, таким образом, никак не отразятся на значениях левых частей.
Дифференцирование тензора по 4-координатам приводит к изменению его
ранга. Это связано с тем, что оператор производной представляет собой 4-
вектор.
Пример 4.3. Показать, что оператор 4-градиента д/дхк преобразуется как
истинный ковариантный 4-вектор.
4.1. Четырехмерные векторы и тензоры
307
Решение. С помощью (4.14) находим преобразование
Л = ^? - = ЛГтгА (4.32)
дхк дхк дхт дх'ш
которое совпадает с правилом преобразования (4.4) ковариантного 4-
вектора. Поэтому для обозначения 4-градиента наряду с (4.32) применяют и
другие символы, явно использующие ковариантный (нижний) значок, например:
= дкФ = Ф,к . (4.33)
дхК
При инверсии осей 4-градиент преобразуется как 4-координаты. ¦
Рекомендуемая литература: [Фок (1955)], [Батыгин и Топтыгин (1970)],
[Рашевский (1953)], [Медведев (1977)], [Вейнберг (1977)], [Паули (1947)],
[Берке (1985)], [Ландау и Лифшиц, Теория поля].
Задачи
4.1. Показать, что метрический тензор (3.9) имеет одинаковый вид во всех
инерциальных системах координат.
4.2. Доказать равенство
еттМВъСхОт =
Ао А1 А2 A3
В0 Вг в2 Вз
Со Сг с2 С3
Do D1 d2 D3
(4.34)
4.3. На основе определения тензора егк1т доказать равенства (4.28).
4.4. Некоторый контравариантный тензор II ранга обладает свойством
симметрии (5г/е = Зкг) либо антисимметрии (Агк = -Акг). Как выглядят
соответствующие соотношения для ковариантного и смешанного тензоров?
4.5. Записать тензор II ранга Тк с произвольной симметрией в виде суммы
тензора, пропорционального единичному 6к, и тензора с нулевым следом.
4.6. Имеется тензор ТгЫ с произвольной симметрией. Составить из его
компонент тензоры Slkl и Агк1, которые были бы симметричны и
антисимметричны по любой паре значков.
308
Глава 4
4.7. Показать, что
iklm
(4.35)
4.8*. Доказать тождества:
а) еШтеМт = -24;
б) еШтеШп = -65%;
в) eMmeikjr = -2(Sj5rm -
г)
д)
Ч Ч Ч
ештегрга = - Ч Ч Ч
5Р ит 5гт
егк1те(tm)гз = -
Ч Ч Ч Ч
Ч Ч Ч Ч
Ч Ч Ч Ч
sj um 5Р - т 5Гт
(4.36)
4.9. Обратить равенства (4.29)-(4.31) и выразить вектор Вт и тензоры
Aim, Jkim через Вгк\ Агк и Jг соответственно. Как преобразуются тензоры с
тильдой при отражении координатных осей, если исходные тензоры являются
полярными?
4.10. Два непараллельных 4-вектора Ai и Вk, имеющие общее начало,
определяют двумерную гиперплоскость в 4-пространстве. Показать, что
тензор Сгк, дуальный антисимметричному тензору AiBk - А^В^ ортогонален
любому 4-вектору, лежащему в указанной гиперплоскости.
4.11*. Три некомпланарных (линейно независимых) 4-вектора Ai, Bj, Ck
являются ребрами 3-мерного гиперпараллелепипеда в 4-мерном
псевдоевклидовом пространстве. Определить объем указанного
параллелепипеда. Показать, что 4-вектор Vi, дуальный антисимметричному
тензору III ранга, изображающему указанный объем, ортогонален любому 4-
век-тору, принадлежащему данному трехмерному гиперпараллелепипеду.
4.12*. Найти, на какие трехмерные тензоры расщепляется 4-тен-зор II ранга
Тгк при пространственных поворотах.
4.1. Четырехмерные векторы и тензоры
309
4.13*. Найти, на какие трехмерные тензоры расщепляется истинный
антисимметричный 4-тензор II ранга Aik ПРИ пространственных поворотах и
отражениях.
УКАЗАНИЕ. Использовать результаты задачи 1.10.
4.14. Для антисимметричного тензора Aik, рассмотренного в предыдущей
задаче, доказать тождества
АгкАы = р ¦ ад\, AikAkl = АгкАы + (1/2)АтпАтпб\, (4.37)
где Aik - дуальный тензор, р и а - полярный и аксиальный 3-векторы,
