Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
составляющие Aik.
4.15. Два 4-вектора, Ai и Bi, называются параллельными, если
Ао _ Ал _ А2 _ Аз Bq В\ В2 В3
Доказать, что отношение одноименных компонент параллельных 4-векторов
инвариантно относительно преобразования Лоренца.
УКАЗАНИЕ. Воспользоваться свойством равных отношений.
4.16. Пространственные повороты координатной системы образуют подгруппу
собственных преобразований Лоренца. Записать матрицу преобразования
Лоренца для пространственного поворота, выбрав в качестве параметров
преобразования углы Эйлера (рис. 1.2).
4.17. Система отсчета S" движется относительно S' со скоростью V',
параллельной оси xf, S' - относительно S со скоростью V, параллельной оси
х. Одноименные оси всех трех систем параллельны. Путем перемножения
соответствующих матриц получить матрицу преобразования от S" к S.
Получить также формулу сложения одинаково направленных скоростей.
4.18. Система S' движется относительно S со скоростью V, направление
которой задается в S сферическими углами 0, Ф. Пространственные оси двух
систем параллельны. Получить матрицу преобразования Лоренца путем
перемножения матриц пространственного поворота и буста вдоль одной из
координатных осей.
4.19*. Получить матрицу преобразования А для случая, указанного в
предыдущей задаче, на основе общих свойств этой матрицы, разобранных в
примере 4.1.
310
Глава 4
4.20. Запишем бесконечно малое собственное преобразование Лоренца общего
вида в форме
хк = х'к + snfx'1,
где SQf - параметры преобразования. Какие ограничения на матрицу SQf
накладывает требование инвариантности интервала и каково число
независимых параметров преобразования? Какой геометрический смысл имеют
величины 50, f?
4.21. Найти правила преобразования производных АгdkAi7 diT1^, где А -
вектор, Тк - тензор II ранга.
4.22. Показать, что оператор Даламбера
<4-з8>
- релятивистский инвариант.
4.23. По аналогии с ротором трехмерного вектора rot А определить ротор 4-
вектора Ai. Можно ли рассматривать 4-ротор как 4-вектор?
4.24*. В четырехмерном псевдоевклидовом пространстве задана гладкая
замкнутая линия I. Для произвольного дифференцируемого 4-вектора Ai(pc) =
Ai(x°, хх2, х3) доказать теорему Стокса:
_ Ai df = [ (^ dSik, (4.39)
I J \дхг дхк)
S
где S - произвольная незамкнутая гиперповерхность, опирающаяся на контур
I; dSlk - направленный элемент этой гиперповерхности, dlг - направленный
элемент контура I.
4.25*. Доказать теорему Остроградского-Гаусса в четырехмерном
псевдоевклидовом пространстве:
Ai dSi = [ - d4x, (4.40)
J дхг
Q
где Аг - произвольный дифференцируемый 4-вектор, ? - замкнутая трехмерная
гиперповерхность, ограничивающая 4-объем О, dSi - направленный элемент
гиперповерхности, d4x - элемент 4-объема.
4.1. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях.
311
УКАЗАНИЕ. Элементы трехмерной гиперповерхности, перпендикулярные
координатным осям, образуют 4-вектор и даются выражениями (ср. с задачей
4.11)
ЗАМЕЧАНИЕ. Теоремы Стокса и Остроградского-Гаусса справедливы для любого
4-тензора ранга s ф 0. Все индексы кроме тех, по которым производится
суммирование в равенствах (4.39) и (4.40), остаются свободными.
4.2. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях. Преобразование
электромагнитного поля
Взаимодействие заряженных частиц с электромагнитным полем.
Воздействие внешнего электромагнитного поля на заряженную частицу,
движущуюся с произвольной скоростью (постоянной или переменной)
описывается силой Лоренца
и мы будем рассматривать это утверждение как фундаментальный опытный
факт. Используя его, а также некоторые общефизические принципы, мы
установим вид взаимодействия между заряженными частицами и
электромагнитным полем, построим функции Лагранжа и Гамильтона, выясним
правила релятивистского преобразования напряженностей электромагнитного
поля Е, Н и найдем инвариантную форму уравнений движения релятивистских
частиц в электромагнитном поле.
Для выполнения этой программы на основе вариационного подхода необходимо
установить вид действия для заряженной частицы в электромагнитном поле.
Для этого к действию (3.29) для свободной частицы необходимо добавить
слагаемое, описывающее взаимодействие частицы с полем:
Оно должно быть релятивистским инвариантом, содержать в виде произведения
заряд частицы и величины, характеризующие поле, а также - и это самое
главное - приводить к следствиям, подтверждаемым опытом, в том числе к
силе Лоренца (4.41). Первое из перечисленных условий вытекает
dSo = dzdx1 dx2 dx3, dSi = ±dx° dx2 dx3, dS2 = ±dx° dx1 dx3, dS3 = ±dx°
dx1 dx2.
& = eE + x H,
(4.41)
(4.42)
(i)
312
Глава 4
из принципа относительности, второе можно рассматривать как обобщение
данных опыта, согласно которым взаимодействие частиц с полем описывается
единственной скалярной характеристикой частицы - ее электрическим зарядом
(см. главу 2). В качестве величин, относящихся к полю, в Sint не удается
ввести напряженности Е и Н ввиду достаточно сложного закона их
