Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
заряженной частицы и записать ее уравнение движения в форме уравнения
Гамильтона-Якоби.
(4.59)
dPa dp° _ 1 d8 _ 1 d8 dp _ 7
dr dr с dr с dp dr с
3k = (7^ • v/c, 7^),
(4.60)
(см. задачу 4.42).
318
Глава 4
Решение. В отличие от подхода, использованного в примере 4.5, когда
действие рассматривалось для разных произвольно выбранных траекторий
частицы (и из условия стационарности определялась та из них, которая
отвечает реальному движению), теперь считаем действие определенным на
реальной физической траектории, но рассматриваем его как обычную функцию
4-координат конечной точки (2) движения, считая фиксированной точку (1).
На физической траектории интегральный член в правой части (4.51)
(вариация действия при закрепленных концах) обращается в нуль. Имеем
также &гг|(1) = 0, поскольку точка (1) зафиксирована. Таким образом, SS =
= - (тщ + f 8хг, откуда дгБ = -тщ - (e/c)Ai.
Но из классической гамильтоновой механики известно, что производные
действия по пространственным координатам равны компонентам обобщенного
импульса Р, а взятая с обратным знаком производная по времени
представляет собой функцию Гамильтона частицы Ж\
= p = vs. (4.61)
at
Поэтому назовем величину
Р1 = -^-=тиг + %Аг (4.62)
ковариантным обобщенным 4-импульсом. Более удобно использовать его
контравариантные компоненты:
Р1={Ц^^+-сА)^ (4.63)
где р - обычный трехмерный импульс (3.33), ё - полная энергия свободной
частицы, а ё + еср = Ж - функция Гамильтона. Как известно из механики,
она должна быть выражена через обобщенные координаты (у нас г = (ж, ?/,
z)) и обобщенный импульс Р. Находя из (4.63)
р = Р-\А (4.64)
и пользуясь второй формулой (3.33), находим функцию Гамильтона
релятивистской частицы:
Ж (г, Р, t) = уш2с4 + с2 (р - § A(r, tj) +ecp(r,t). (4.65)
4.2. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях.
319
В нерелятивистском приближении получим из (4.65)
t)^j + e<p(r, t). (4.65')
(постоянное тс2 опущено).
Теперь не составляет труда записать уравнение Гамильтона-Якоби.
Используем равенства (4.61) и подставляем в первое из них функцию
Гамильтона (4.65), в которой Р заменен на V5:
Последние два равенства и представляют собой разные формы записи
уравнения Гамильтона-Якоби для релятивистской частицы. Неизвестной
величиной, которая определяется из полученных уравнений, выступает в этом
Преобразование напряженностей электромагнитного поля.
Пример 4.8. Пользуясь определением тензора электромагнитного поля (4.52)
и соотношениями (4.55), (4.57), составить таблицы, связывающие компоненты
Flk и Fik с напряженностями Е, Н. Записать формулы релятивистского
преобразования напряженностей поля Е, Н.
Решение. Получаем:
2
+ еср = 0.
(4.66)
Более удобна запись без радикала:
(v5-|A)2-^(^+e^2 + m2c2 = 0. (4.67)
методе функция S(r,t).
(4.68)
Поучительно сравнить эти две таблицы с общей структурой антисимметричного
тензора II ранга, рассмотренного в задаче 4.23. Из предлагаемого
320
Глава 4
сравнения, а также из формул (4.57) следует, что относительно инверсии
пространственных осей Е - истинный вектор, а Н - псевдовектор.
Преобразование в другую систему отсчета осуществляем по общим правилам
типа (4.6): Fik = AilAknF(n, где матрица А/ определена равенством (4.5).
Находим
F01 = Л0°A11F'1 + Ло1Л1°^0 = (ch2 ф - sh2 = F'1; F02 = A0°A22Fq2 +
A01A22F[2 = chV^a - sh ^F[2
и т. д. С помощью таблиц (4.68) и (4.5) получаем
ЕХ = Е'Х, Ey=1(E/y + f3H'z), Ez = j(E'z - /ЗЯ'),
Нх = Я', Ну = 7(я; - (3E'Z), Hz = 7(Я' + /зд;.
Здесь ось Ож направлена вдоль относительной скорости V, а оси Оу и Oz
перпендикулярны ей. Поэтому (4.69) легко записать для произвольного
направления скорости V:
Е'и = Еь Е'± = 7(Е± + V х Jf/c),
, (4.70)
Н||=Н||, Hi=7(Hi-Vx?/c).
Значками || и _L отмечены составляющие, параллельная и перпендикулярная
V. При F " с с точностью до линейных членов следует положить В (4.69),
(4.70) 7 = 1. ¦
Пример 4.9. Построить все возможные независимые релятивистские инварианты
из компонент тензора электромагнитного поля.
Решение. Пространственные повороты составляют часть преобразований,
относящихся к группе общих преобразований Лоренца, поэтому число лоренц-
инвариантов не может быть больше числа инвариантов относительно
трехмерных вращений. А последних из двух 3-векторов, Е и Н, входящих в
состав тензора электромагнитного поля, можно составить только три: два
истинных скаляра, Е2 и Н2, и один псевдоскаляр Е • Н. Последний
оказывается инвариантом и относительно собственных преобразований
Лоренца, как это следует из тензорной формы записи (см.(4.37)):
eiklmFtkFlm = -8E-H. (4.71)
При инверсии осей инвариантом является (Е • Н)2.
Величины Е2 и Н2 не лоренц-инвариантны, так как согласно (4.70)
напряженности при переходе в другую систему в общем случае меняют
4.2. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях.
321
свою величину и направление. Но их разность является истинным скаляром,
как это следует из явной лоренц-инвариантной записи
2(Н2 -Е2) = FikFik. (4.72)
