Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
наносить соответствующие точки на диаграмму Далица. При этом густота
точек будет пропорциональна величине р (см. условие задачи), которая
таким образом может быть найдена из данных эксперимента.
3.84. Рассмотрим 4-вектор энергии - импульса системы частиц р^. Он
сохраняется, т. е. его соответствующие компоненты до и после реакции
равны между собой. При значении кинетической энергии То, соответствующем
порогу реакции, образовавшиеся частицы покоятся в системе ц. и. (заметим,
что в лабораторной системе отсчета частицы не могут покоится при
пороговом значении То, так как это означало бы нарушение закона
сохранения импульса). Вектор полного 4-импульса системы до реакции имеет
в лабораторной системе вид
г (&0 \
Р(0) = {-с Po)i
где <§о - полная энергия и р0 - полный импульс, соответствующие порогу
реакции.
После же реакции в системе ц. и. 4-импульс равен р\ = (Мс, 0). Вследствие
инвариантности квадрата 4-вектора и закона сохранения 4-импуль-
286
Глава 3
са P\o)Pi°^ - PlPi- Запишем последнее равенство в развернутом виде
р>2
М2с2 = + 2ш1<?о + гп\с2 - pg,
ст
То = -----(М - mi - т)(М + mi + m).
откуда
Тг, =
2mi
3.85. Т0 " 3,5 х 106 МэВ = 3,5 ТэВ.
3.86. а) Т0 = 288 МэВ; б) Т0 = 160 МэВ; в) Т0 = 763 МэВ;
ч _ 2mJm + 2mp)c2
Г)Т0 =----------m--------•
В частном случае столкновения с протоном га = тр имеем То = 6трс2 = 5,63
Гэв.
Приближенная формула для пороговой энергии
2М+2) 9
То = V А трс2.
При больших А, То ~ 2трс2.
3.87. То = ^1 + AS. В случае а) имеем по приведенной выше приближенной
формуле
А8 = Т0 = 2,18 МэВ (га = 0).
IQI2
По точной формуле (см. задачу 3.35) мы получили бы больше на 2 "
" 0,0012 МэВ, где Q = - (М - rai - т)с2 - энергетический выход реакции. В
случае б) приближенная формула дает То = 2\Q\ = 7,96 МэВ. Отличие от
точной формулы составляет 0,003 МэВ.
3.88.
ДМ, г А М/М
а) 4,6 х 1СГ26 0,65 х НГ2
б) 3,1 х 10"26 0,35 х 10"2
в) 3,6 х 10"25 0,85 х 10"3
г) 1,2 х 1СГ33 1,4 х 10"п
д) 10 35 3 х 10-13
3.3. Ответы и решения
287
3.89.
М2 = 2(га2 + $_$+/с4 - р_ • р+/с2) > О, га2с4 + <?_<§+ - с2р_ •
^ = (<?_ + <?+)(1 -У cos в/с) '
(§2 = <^>- "Ь <§+ - <?1,
где V = (р_ +р_|_)/М, 0 - угол вылета первого кванта относительно V, 8± -
энергии электрона и позитрона в Л-системе.
3.90. Уравнение реакции имеет вид
7 + частица -> е+ + е~ + частица.
Порог можно найти по общей формуле (см. задачу 3.84)
То = hcjQ = 2^~(mi ~ + гаi) = 2гас2 ^1 + ,
где га - масса электрона (или позитрона). Когда частицы нет, так что га 1
-> 0, пороговая энергия То -> оо, что и означает невозможность реакции.
Последний результат можно также получить, показав невозможность
выполнения равенства ki = p+i +P-i, где р+i, Р-г - 4-импульсы фотона
позитрона и электрона. Возводя обе части последнего равенства в квадрат,
будем иметь
klki = (<?_)_ + 8-)2 - (р_|_ + р_)2.
Но = 0, а инвариантная величина, стоящая в правой части, не равна нулю ни
при каких значениях р+, р_. Это становится очевидным, если перейти в
систему отсчета, в которой + р_ =0.
3.92. ,,=
8 + 7712 С
3.93. По закону сохранения 4-импульса
(1) Ри +P{2i =Pli +Р2г-
Чтобы определить угол рассеяния первой частицы, перенесем ри налево и
возведем обе части получившегося равенства в квадрат:
288
Глава 3
Согласно (3.41.), р^гр$ = р\ри = т2с2, p^P^i = Р2Р2г = тп^с2. Скалярные
произведения преобразуются следующим образом = 0):
-РиР2)г = Р(1} ¦ Р2} - 4^1(0)^20) = -<^0т2, p(2ip\ = т2§1,
cz
-Р{НР\ = Pl0) • Pi - ^l(0)?l = PoPl COS^l -
cz cz
где P = \ \J$l + m2c4. Подставляя полученные выражения в (2), найдем
(S0 + ш2с ) - 80ГП2С - т2с
cos $1 =------------------------------------------
с2РоР2
Аналогично
(§0 + т2с2)(?2 -т2с2)
COS Х/2 = ------------~--------------
CZP0P2
3.94.
Из этих формул видно, что при mi > ^2 возможно рассеяние только на углы $
1, не превышающие arcsin yW/W (подкоренное выражение в (1) должно быть
положительно). При этом каждому значению $1 отвечают два значения энергии
8\.
3.3. Ответы и решения 289
При mi = ^2 угол рассеяния не превышает тг/2 и каждому значению означает
только одно значение энергии, соответствующее выбору знака "+" в формуле
(1). Знаку "-" отвечало бы значение = т\(? не зависимо от угла рассеяния,
что, очевидно, не соответствует действительности. По аналогичной причине
в числителе формулы (2) для 82 оставлен только знак "+".
При т\ < m2 возможно рассеяние на любой угол и каждому значению отвечает
одно значение ё\. Если 0 < $1 < тг/2, то в формуле (1) нужно выбрать знак
"+", если тг/2 < < 7г, то нужно выбрать знак "-".
При таком выборе знаков рассеянию налетающей частицы на больший угол
соответствует большая потеря энергии, как и должно быть.
3.95. 8 и----------^---------.
1 + -^(1-СО80) Мс2
- АЕ
Мсг
3.97. Ti =
То cos2 $1
3.98.
Ti=T0
т 1
7711+7712
) 1+{Ш) -2sin2^±2cos01^(щ) -sin2^!
^ 4Ш1Ш2 ^
Т2 = 7---------ПТ То COS U2-
(771/1 + Ш2)
Правило знаков сформулировано в решении задачи 3.94.
3.99. Угол разлета частиц х = $1 + ^2 выражается формулой
