Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
зависящие от параметра, при определенных предельных значениях это-
Рис. 1.10
1.3. Специальные функции математической физики
73
го параметра. Наиболее употребительны такие представления дельта-функции:
Их можно рассматривать как разложение дельта-функции в интеграл Фурье6.
Иногда формулы (1.219) записывают, опуская знак предельного перехода и
интегрируя в бесконечных пределах.
Легко убедиться в том, что любое из представлений (1.215)-(1.219)
согласуется со всеми свойствами (1.203)-(1.207), а также с определением
(1.210) производной от дельта-функции. При вычислении интегралов с
дельта-функциями с помощью представлений типа (1.215)-(1.219) нужно
производить предельный переход после интегрирования. Например, при
использовании (1.216) имеем
тогда как предел (1.216) сам по себе не существует.
Представление дельта-функции через контурные интегралы в комплексной
плоскости. Воспользуемся формулой Коши:
(1.216)
(1.217)
й(а;) = lim -Le"*2/6.
д/тге
Из (1.216) получаются следующие представления:
(1.218)
к
к
5(х) = 77- lim [
2тг оо J
eikx dk = l
71 К
cos kx dk.
(1.219)
-к
b
ък
- a
-aK
(1.221)
с
6 Об интегралах Фурье см. следующий раздел.
74
Глава 1
где f(z) - функция, не имеющая особенностей внутри области, ограниченной
замкнутым контуром С, и на самом контуре в плоскости комплексного
переменного г, интегрирование по которому производится против часовой
стрелки. Из сравнения (1.221) с (1.205) следует, что величину
можно рассматривать как представление S(z - а), если условиться
производить интегрирование по замкнутому контуру, окружающему точку z =
а, такому, внутри которого и на самом контуре другие особенности подын-
быть бесконечными. Такой интеграл при а действительном не имеет
определенного значения, так как подынтегральное выражение имеет полюс на
контуре интегрирования. При вычислении интеграла необходима
дополнительная информация, которая должна состоять в указании правила
обхода особой точки. Правило обхода устанавливается обычно на основе
физических аргументов:
Это означает, что стоящий в левой части приведенного выше соотношения
интеграл, в котором интегрирование проводится по всему контуру, может
быть представлен (см. рис. 1.11) в виде суммы двух интегралов. В первом
из них интегрирование ведется либо по верхней, либо по нижней
полуокружности малого радиуса Сг, во втором - по всему остальному,
идущему вдоль действительной оси участку контура (эта часть контура
обозначена символом Cr6).
Интеграл по полуокружности радиуса е -> 0 дает половину вычета (со знаком
минус для верхнего контура на рис. 1.11, поскольку обход полюса -
1 1
2тгi z - а
тегрального выражения отсутствуют. В частности, контур С может
представлять собой окружность малого радиуса.
а
В приложениях нередко возникает интеграл по действительной оси вида
а
Рис. 1.11
где f(x) не имеет особенностей на отрезке [#i, Х2], а пределы х\, Х2
могут
C'Re
1.3. Специальные функции математической физики
75
по часовой стрелке):
^ ^¦ dx = -inf(а)]
/ х-а
Сг
интеграл по действительной оси с исключенной особой точкой вычисляется в
смысле главного значения:
Х2 ( а-е Х2 Л Х2
im| [[mdx.
J x - a I J x - a J x - a [ J x - a
xi \ xi a+e ) xi
При обходе полюса по нижней полуокружности меняется знак полувычета. В
итоге мы получаем следующие правила вычисления интеграла (формулы
Сохоцкого):
1 = Тш5(х- а) + . (1.222)
х - а 4 ' х - а
Символ 0Р обозначает главное значение (верхний знак - для верхнего
контура, нижний - для нижнего на рис. 1.11).
Вместо деформации контура интегрирования можно сместить положение полюса
на малое расстояние от действительной оси. Это достигается путем
добавления к числу а малой мнимой части: а -> а =р ге, е -> 0. При такой
замене тождество (1.222) примет следующую форму:
lim-----^ . = ^iirSix - а) Н-. (1.223)
х - а ±ге v 'х-а 4
Оба тождества, (1.222) и (1.223), носят символический (операторный)
характер и должны пониматься в том смысле, что интегрирование правой и
левой частей с любой непрерывной функцией дает один и тот же результат.
Отделив в левой части равенства (1.223) действительную и мнимую части
комплексного выражения, получим для 5(х - а) представление (1.215) (с
заменой х -> х - а), а для главного значения
= lim--------. (1.224)
х а б^о (х - а) + б
Другое представление главного значения, аналогичное представлению (1.216)
для дельта-функции, имеет вид
& V 1 - COS Кх /1 00/1 \
= lim -------- ----. (1.224а)
х-а к-гоо % v f
Строгая математическая теория обобщенных функций содержится в [Владимиров
(1976)], а прикладные аспекты описаны в [Зельдович и Мыш-кис (1972)]. См.
также [Колоколов и др. (2000)].
76
Глава 1
Задачи
1.120. Вычислить интегралы
3 -3
J (х2 - х - 5)5(-3x)dx, J (х + 3)д(х + 5) dx, -2 -ю
5 оо
J(х + 5)5(ж + 5) dx, J exjp(ax)S(x2 + ж - 2)
- 2) dx, а = const.
1.121. Упростить выражения (ж - а)5(х - a), f(x)5(x - а),
(Зх3 - 7х)5(2х2 - 6х - 4).
1.122. Доказать, что представления (1.215), (1.217), (1.218)
