Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
порядок операций суммирования и интегрирования, будем иметь
оо
f(x) = f dx'/{х')^<рк(х')<рк{х) = f К(х, x')f(x')dx', (1.
J и_П J
240)
к=0
где
К{х, х') = Ё Vk{x')Vk{x)- (1-241)
k=о
Поскольку равенство (1.240) должно выполняться для любой функции f(x) из
широкого класса, то ядро К(х, хг) интегрального преобразования (1.240)
должно обладать свойством дельта-функции. В этом можно убедиться,
вычислив коэффициенты разложения 5(х - х') по системе функций (рк(х)
согласно (1.232)7:
Сг?, -
Следовательно, равенство (1.239) имеет место и представляет собой
разложение дельта-функции по функциям (р^(х). Ш
В некоторых физических задачах, особенно в квантовой механике, в полную
систему входит не только дискретный ряд функций срп(х), но также функции
ср(х. А), которые зависят от параметра Л, принимающего непрерывные
значения из некоторого интервала, либо только функции с непрерывным
параметром. В этих случаях в разложение произвольной функции будут
входить и сумма, и интеграл по непрерывным значениям Л либо только
интеграл, а условие замкнутости примет вид
ОО г,
6(х - х') = Е <PUx')<Pk(x) + / V*{x'i АМж, -М d\. (1.242)
к=0 ^
Ряд Фурье. Доказательство полноты конкретных систем функций представляет
собой нетривиальную математическую задачу, решение которой можно найти в
специальных руководствах (см., например, [Ильин и Позняк (1973)], [Арфкен
(1970)], [Ли (1965)]). К числу полных ортонор-мированных систем относится
рассмотренная выше система сферических функций Лежандра Угт(^, <р), I =
0, 1, ..., т = -- I + 1, - 1, /.
7Здесь мы выходим за пределы класса обычных функций с интегрируемым
квадратом и используем обобщенные функции.
1.3. Специальные функции математической физики
81
По таким функциям можно разложить любую ограниченную функцию "на
поверхности сферы", т. е. зависящую от углов д, ср. В отсутствие
зависимости от (р полную систему на сфере образуют полиномы Лежандра
РДcos $).
Одной из наиболее употребительных ортонормированных на интервале [-7г, -
|-7г] и полных систем функций является тригонометрическая система
1 со^ п = 1)2)... (1.243)
Л/27Г Л/7Г л/тт
Ортонормированность этой системы функций нетрудно проверить
непосредственно. Разложение некоторой функции в ряд по тригонометрическим
функциям образует ее ряд Фурье. Впрочем, иногда рядом Фурье (в широком
смысле) называют и общее разложение (1.237) по любой полной
ортонормированной системе функций.
Поскольку тригонометрические функции (1.243) периодичны, то разлагаемая
функция будет представлена рядом Фурье при всех г лишь в том случае, если
она периодична с тем же периодом 2тг, т. е. /(г) = /(г + 2п7г), п = ±1,
±2, . . ., либо задана на конечном промежутке b-a = 2L > 0. В последнем
случае в (1.243) нужно заменить переменную г на irx/L и сдвинуть начало
отсчета координаты х на середину интервала [а, Ь], т. е. ввести х' = х -
а - L, -L ^ х' ^ +L. Рассматриваемая функция, если для нее построить ряд
Фурье, будет продолжена в этом случае периодически на всю действительную
ось Ох. Непериодическая функция, заданная на бесконечном интервале,
правильно представляется рядом Фурье лишь на конечном отрезке 2L. Для ее
представления на всей оси Ох нужно использовать интеграл Фурье (см.
ниже).
Если ряд Фурье представляет функцию, имеющую разрывы первого рода
(конечные скачки), то в точке скачка х = хо он сходится к полусумме
значений функции, взятых по обе стороны скачка:
оо
^2сп<Рп(хо) = |[/(ж о - 0) + f(xo + 0)]. (1.244)
к=0
Пример 1.22. Записать разложение Фурье на интервале [-L, +L], выбрав в
качестве полной системы функций8 экспоненты с мнимым показателем
ехр(гшпг/?), п = 0, ±1, ...
8Полнота системы следует из того, что использовавшиеся ранее sinnr, cos
пт линейно выражаются через ехр(тт). Поэтому запись через экспоненты
означает другую форму тригонометрического ряда.
82
Глава 1
Решение. Убеждаемся в том, что рассматриваемые экспоненты взаимно
ортогональны на интервале [-L, +L]:
L
/[ г(т - п)тгх 1 exps - / dx - 2Lomn.
-L
Записываем искомое разложение в виде
f(x)= ? Kexpj^pj. (1.245)
п= - ОО ^ '
Для определения коэффициентов разложения Fn умножаем обе части (1.245) на
exp(irmrx/L) и интегрируем по рассматриваемому интервалу. В силу
ортогональности экспонент после интегрирования в сумме по п останется
только один член с п = га, что позволяет найти коэффициенты ряда Фурье:
L
Fm=2bJ f{x) 6ХР {ijDLT } dx¦ 0 '246)
-L
Как следует из (1.246), если f(x) - действительная функция, то
коэффициенты Фурье (1.246), будучи в общем случае комплексными
величинами, удовлетворяют условию F_n = F*. Это условие обеспечивает
действительность суммы ряда (1.245). ¦
Разложение Фурье очевидным образом обобщается на случай функций,
зависящих от нескольких переменных.
Задачи
1.129. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, заданную на
интервале [-7г, +тг] условиями f(x) = х для 0 < х < 7г, f(-x) = f(x).
1.130. Сделать то же самое для функции f(x) = а при 0 ^ х ^ 7г, f(-x)
