Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Батыгин В.В. -> "Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория" -> 23

Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.

Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория: Учебное пособие — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 736 c.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка): sovremennayaelektrodinamikat12002.pdf
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 225 >> Следующая

изобража-
оо
ют дельта-функцию. Для этого вычислить интегралы вида f f(x)S(x) dx
- оо
от непрерывной функции f(x), подставляя вместо 5(х) правую часть
соответствующего представления, и убедиться в том, что после перехода к
пределу указанные интегралы дают /(0).
1.123. Записать трехмерные дельта-функции S(r), 5(г - а) в
цилиндрических координатах, где а = (а±, ао, az) - постоянный вектор,
заданный своими цилиндрическими координатами.
1.124. Сделать то же самое в сферических координатах, а = (а, $о,
ао).
1.125. Записать с помощью дельта-функции первую производную от
разрывной функции
f(x) =
х6, если х < 1, 2, если х = 1, х2 + 2, если х > 1.
1.126. Пусть функция f(x) имеет разрывы первого рода (конечные
скачки) в точках а*, г = 1, 2,... п. Записать ее первую производную через
дельта- функцию.
1.127. Найти правило вычисления интеграла от произведения
f(x)xn6^m\x), где f(x) - функция, дифференцируемая (в классическом
смысле) при х = 0, 5^Ш\х) - 771-Я производная от дельта-функции, п -
целое положительное число.
1.3. Специальные функции математической физики
77
1.128. Показать, что функция G(\r - г'\) = 1/\г - г'\ удовлетворяет
уравнению Пуассона с дельтаобразной правой частью:
AG(\r - г' |) = -47г 5(г - г'). (1.225)
Разложение по полным системам ортонормированных функций. Общее
рассмотрение. Пусть имеется некоторая система линейно независимых
функций, ср(х, Хп) = срп(х), в общем случае комплекснозначных, которые
определены на некотором интервале [а, b} действительной переменной х и
зависят от действительного параметра А, принимающего дискретный ряд
значений: Ai, А2, • • • Такие системы функций часто возникают при решении
обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных
производных с соответствующими граничными условиями, и число функций в
них обычно бесконечно велико: п = 0, 1,... Пусть функции обладают
следующими свойствами: а) они нормированы на единицу, т. е.
ъ
J \4>n(x)?dx = !; (1.226)
а
б) они взаимно ортогональны, т. е.
/AW""W<fe = 0 при тфп. (1.227)
Здесь звездочкой сверху ср* обозначена комплексно сопряженная величина.
Такие системы функций называются ортонормированными, а равенства (1.226)
и (1.227) можно записать единым образом с помощью символа Кронекера:
ь
j <p*m(x)<pn(x)dx = 6mn. (1.228)
а
Рассмотрим теперь произвольную функцию f(x) с интегрируемым
ъ
квадратом, т. е. такую, для которой интеграл J \ f(x)\2 dx конечен. В
слу-
а
чае конечного интервала [а, b} этому условию будет удовлетворять любая
кусочно-непрерывная функция, имеющая ограниченное число конечных
скачков на этом интервале. Выясним возможность разложения
такой функции в ряд по функциям фп(х). Для этого сначала
аппроксими-
руем рассматриваемую функцию линейной суперпозицией, включающей п
78
Глава 1
базисных функций:
п
f(x) = Y,CnMx) + Rn(x), (1.229)
к=О
где через Rn(x) обозначен остаток ряда. Коэффициенты сп суперпозиции
выберем таким образом, чтобы погрешность аппроксимации была наименьшей.
За меру погрешности примем величину
о о
Gn = J\Rn(x)\2dx = J
n?>k(x)
k=0
2
dx. (1.230)
Раскрывая квадрат модуля и используя условие ортонормированнос-ти
(1.228), будем иметь
ъ
Gn= f \f(x)\2dx - ^cfe f f*(x)ipk(x)dx-
J k=0 ^
n " n
-Ecfc / f(xM(x)dx + J24ck. (1.231) k=0 ''a k=0
Необходимое условие минимума величины Gn, рассматриваемой как функция
коэффициентов с&, дает
о
Cfc = J f(x)<p*k(x)dx,
(1.232)
а погрешность разложения принимает вид
ь

\f(x)\2dx - Ы2-
к=о
(1.233)
Поскольку Gn ^ 0 по определению, то при любом п имеет место неравенство:
1.3. Специальные функции математической физики
79
Если для всякой функции с интегрируемым квадратом в пределе имеет место
равенство
lim Gn = 0, (1.235)
71-> ОО
или, в другой форме,
" оо
J \f(x)\2dx = J2\ck\2 (1.236)
а к=°
(равенство Парсеваля), то система функций срп(х), п = 0, 1,... называется
полной или замкнутой. Эти термины означают, что других функций, которые
были бы линейно независимы от tpn(x) и ортогональны
к ним,
кроме нулевой функции, не существует: любая функция
рассматриваемого
класса разлагается в ряд
оо
f(x) = Y,CkVk(x), (1-237)
к=О
где коэффициенты разложения даются формулами (1.232). Отметим, что
приведенные выше условия обеспечивают сходимость ряда (1.237) "в
среднем", т. е. обращение в нуль интеграла (1.230). Это означает, что
сходимость ряда к рассматриваемой функции f(x) может нарушаться в
отдельных точках, число которых конечно. Если система функций tpn(x)
ортонормиро-ванная, но не полная, то вместо равенства Парсеваля (1.236)
выполняется неравенство Бесселя:
оо "
Е Ы2 ^ / \f(x)\2dx. (1.238)
fc=0 {
Пример 1.21. Показать, что полная ортонормированная система функций
удовлетворяет соотношению
оо оо
Е (Pk(x')lPk(x) = Е 'Рк(х'Ы(х) = s(x - А (1.239)
к=0 к=0
которое можно рассматривать как другую, отличную от (1.236), форму
условия полноты (замкнутости).
80
Глава 1
Решение. Подставив в (1.237) коэффициенты разложения (1.232) и поменяв
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 225 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed