Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
dqP dq'adq/fl dqfa dqffl dq(3dqx
Оно получается путем дифференцирования по координате равенства типа
(1.43). ¦
Задачи
1.79. Показать, что производная по координате от скаляра (градиент)
dS/dqм = S]fl является ковариантным вектором.
1.80. Показать, что ковариантный ротор совпадает с обычным ротором:
Ап- 7, Av: п -----
dA{и dAv
dqv dq^'
1.81*. Показать, что ковариантную дивергенцию от контравариантно-го
вектора (скаляр) можно записать в виде
1.2. Векторный и тензорный анализ
47
1.82. Записать в криволинейных координатах оператор Лапласа, действующий
на скалярную функцию.
1.83. Для произвольного тензора II ранга записать ковариантную
дивергенцию Т^.ц.
1.84. Сделать то же самое для антисимметричного тензора А^и=-Аи^.
1.85. Для ковариантных компонент антисимметричного тензора А^у = = - Av/l
доказать соотношение
А ч+Лх _ дАI дАх" I дА^
х -+- Л\^ " -I- ti - А -I- д(у -I- dqfJ/ ¦
1.86. Вычислить ковариантные производные от метрического тензо-Ра0Аш;А
1.87. Доказать тождество dg^/dqx = Г;(, ,,Л + Г,,, //А -
Ортогональные криволинейные координаты, для которых = О при /1 ф v (см.
задачу 1.46), используются на практике наиболее часто. При этом вводят
обозначения g^v = h^l(q)5(Jbl, (суммировать по ц не нужно). Элемент длины
запишется в виде
dl2 = g^v dqм dqv = h^dq1)2 + h^(dq2)2 + h\(dq3)2, (1.121)
где величины hм (коэффициенты Ламэ) согласно (1.46) имеют следующий вид:
^ = +(^) + • (1Л22)
Поскольку д/д = инвариантный элемент объема (1.54) принимает
вид
dV = hih2h3 dq1 dq2 dq3. (1.123)
Характерная особенность ортогонального базиса состоит в том, что векторы
исходного и взаимного базисов имеют одинаковые направления, но
различаются величиной и физической размерностью (поскольку координаты ха
и qP могут иметь разную размерность). Вследствие этого и размерность
разных компонент одного и того же вектора, разложенного по векторам этих
базисов, может быть различной, что весьма неудобно при решении физических
задач. Поэтому полезно ввести ортогональный базис единичных ортов еа*,
еа* • ер* = 6ар (мы их будем обозначать нижними
48
Глава 1
индексами и звездочкой), через которые ковариантный и контравариантный
базисы выразятся согласно (1.50) следующим образом:
Разложение произвольного вектора А по ортам ер* приобретает вид
где "физические" компоненты вектора Атеперь имеют одинаковую размерность,
совпадающую с размерностью рассматриваемой векторной величины А, и
связаны с ее ко- и контравариантными компонентами соотношениями
Ввиду удобства использования базиса ер* мы далее всюду в этой книге за
исключением главы 7 будем пользоваться этим базисом, опуская звездочку.
С помощью соотношений (1.120)-(1.126), а также (1.25) записываем основные
дифференциальные операции в ортогональных криволинейных координатах:
(1.124)
А - А\*е\* + А 2*в2* + Аз*ез*,
(1.125)
(1.126)
(1.127)
div А = т-гЦ- -^T(h2h3A1) + ^-(h1h3A2) + ^-(h1h2A3) ; (1.128) _oq dq
dq
1.2. Векторный и тензорный анализ
49
Задачи
1.88. Из общих выражений (1.27)-(1.30) получить приведенные ниже основные
дифференциальные операции в цилиндрической системе координат (г, a, z), в
которой х = г cos а, у = г sin а, z = z.
grad S = yrer + + fe2;
or r oa oz
divA = l|-(rA.) + l^
rar r oa
dAz
dz
/K4=lA(rdS\+±&R + &S.
r dr V dr ) r2 da2 dz2 '
rot A =
1 &A* _ 9A^
r da dz
dz dr
(1.131)
(1.132)
(1.133)
(1.134)
1.89. Сделать то же самое для сферической системы координат (г, а), в
которой х = г sin $ cos а, у = г sin $ sin a, z = г cos
gradS1 = |^er +
or r ov r sin v oa
AS=\d_(r2^
r2 dr V dr
rsin$ 9a '
sin^+^_^5
r2 sin $ d$ \ d$ J r2 sin2 $ da2
r sin $ 9$
1 d
(1.135)
(1.136)
(1.137)
rot A =
rsinfi
1 ВЛт-1(гА.)
sin 0 да dr
d f A ч <ЭД.
dr^ ^ dd
ег9+
(1.138)
1.90*. Воспользовавшись тождеством (1.83), записать проекции вектора АЛ
на оси цилиндрической системы координат.
50
Глава 1
1.91*. Сделать то же самое для сферической системы координат.
1.92. Найти общий вид решения уравнения Лапласа для скалярной функции,
зависящей только: а) от г; б) от а; в) от z (цилиндрические координаты).
1.93. Найти общий вид решения уравнения Лапласа для скалярной функции,
зависящей только: а) от г; б) от в) от а (сферические координаты).
Замечание. В задачах 1.94-1.98 разобраны примеры криволинейных
ортогональных систем координат, более сложных, чем цилиндрические и
сферические. Более полные сведения по этому вопросу содержатся в
руководствах [Арфкен (1970)], [Стрэттон (1948)].
1.94*. Уравнение
2 7/2 ~2
^2 + 72 + % - 1 (а> Ъ> с)
(Г ? сг
изображает эллипсоид с полуосями а, Ъ, с. Уравнения
*2 ¦ у2 ¦ =1, ^-с2,
а2 + ? Ъ2 + § с2 +?
"ТТ ^ /ЗГГ ^ 2, = 1' -с2 ^ ^ ^ -^2'
сг + г/ tr + ?7 сг + г/
X2 I У2 I z2 = 1, -62 > С > -а2
а2 + С Ъ2 + С с2 + С
изображают соответственно эллипсоид, однополостной и двухполостной
гиперболоиды, софокусные с первым эллипсоидом. Через каждую точку
пространства проходит по одной поверхности, характеризуемой значениями
?7, ?. Числа ?, г/, ( называются эллипсоидальными координатами точки х,
