Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
= -f(x).
1.131. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, заданную на
интервале [-L, +L] условиями f(x) = а при 0 < х < L/2, f(x) = 0 при L/2 <
х < L, f(-x) = f(x).
1.3. Специальные функции математической физики
83
Интеграл Фурье. Рассмотрим систему функций, зависящих от действительного
параметра А, который принимает непрерывный ряд значений:
ср(х, А) = ^_егХх, -оо < А < оо. (1.247)
у2тт
Эти функции определены и ограничены при любых действительных значениях
координаты х, т. е. на бесконечном интервале - оо < х < оо. Пользуясь
представлением дельта-функции (1.219), вычисляем интеграл
оо оо
J ф, А)<р*(х\ A) dX = ± J d\ ei^x-x''> = S(x - х').
- оо -оо
Полученное соотношение совпадает с (1.242) (в отсутствие дискретных
значений А) и свидетельствует о полноте системы функций ip(x, А). Поэтому
любую функцию из весьма широкого класса, определенную на всей
действительной оси Ох, можно разложить по функциям ср(х, А):
оо
f(x)= ( F(X)<p(x, A) dX = f F(X)eiXxdX. (1.248)
J у/2тт J
- oo -oo
Функция F(А) называется фурье-образом исходной функции f(x) или ее
амплитудой Фурье. Ее можно найти тем же способом, каким были найдены
коэффициенты ряда Фурье в примере 1.22: умножаем обе части равенства
(1.248) на ср*(х, ц) и интегрируем по координате х. Имеем, меняя порядок
интегрирования
оо оо оо
I f(x)<p*(x, ti)dx=^ J dXF(X) J eix(x-^dx =
- oo -oo -oo
oo
= J d\F(X)S(X-n) (1.249)
- OO
Это равенство и позволяет вычислить амплитуду Фурье заданной функ-ции
f(x).
Прямое и обратное преобразования Фурье часто удобнее записывать в
несимметричной форме:
оо оо
f(x)= j F(X)eiXx g, F(A)= j f(x)e~iXxdx. (1.
250)
84
Глава 1
Действительность интеграла Фурье обеспечивается соотношением
F(-A) = F*( А) (1.251)
при действительных А и f(x).
Разложение в интеграл Фурье легко обобщается на случай нескольких
измерений. Например, в трехмерном пространстве фурье-преобразование можно
записать в виде
/(г) = у>(*)е<~р^, F(x) = J /(г)е~ы'г d3r. (1.252)
В обоих интегралах интегрирование производится по всему пространству.
Пример 1.23. Получить разложение в интеграл Фурье для бесконечного
интервала -оо<х<оо путем предельного перехода L -> ос в формулах (1.245),
(1.246).
Решение. При L -> ос соседние члены в сумме (1.245) почти одинаковы,
поэтому суммирование можно заменить интегрированием по dn = (L/7г) d\ в
пределах -ос, +ос. Обозначив lim 2LFn через F(А),
L-> оо
получим из (1.245), (1.246) соотношения (1.250). ¦
Полезные сведения о разложениях по системам функций, рядах и интегралах
Фурье, кроме уже упомянутых источников, содержатся в книгах [Ильин и
Позняк (1973)], [Толстов (1951)], [Бейтмен и Эрдейи (1969,1970)]
Задачи
1.132. Выразить фурье-образ производной f'(x) через фурье-об-
оо
раз F(А) функции f(x). Предполагается, что интеграл f \f(x)\dx схо-
- оо
ДИТСЯ.
1.133. Сделать то же самое для функции f(ax) exp(ibx).
1.134. Вычислить фурье-образ функции f(x) = (1 + ж2)-1.
УКАЗАНИЕ. Рассматривая х как комплексную переменную, замкнуть контур
интегрирования дугой бесконечного радиуса и применить теорему о вычетах.
1.4. Ответы и решения
85
1.135. Вычислить фурье-образ функции ехр(-а2х2).
1.136. Вычислить трехмерный фурье-образ функции /(г) = е
1.137*. Вычислить трехмерный фурье-образ функции G(r) = г 1.
1.138*. Произвести разложение плоской волны ex.p(ikr cos 0) в ряд по
полиномам Лежандра Pi(cos'#). Вычислить коэффициенты разложения,
воспользовавшись ортогональностью полиномов Лежандра.
1.139. Пусть направления векторов к и г задаются в сферической системе
координат углами (0, ф) и ip соответственно. Разложить плоскую волну
ехр(гк • г) в ряд по сферическим функциям Лежандра.
УКАЗАНИЕ. Воспользоваться теоремой сложения для сферических функций.
1.140*. Доказать тождество
где г_|_ и z - цилиндрические координаты.
1.4. Ответы и решения
1.1. Из равенства (1.6), которое является следствием определения (1.3),
вытекает \а\2 = 1, т. е. \а\ = ±1. При повороте на нулевой угол а = 1 и
\а\ = |1| = +1; но поскольку элементы матрицы поворота являются
непрерывными функциями трех параметров, задающих поворот (например, трех
углов Эйлера, см. задачу 1.20), то и при повороте на произвольный угол
\а\ = 1. При отражении трех координатных осей матрица преобразования в
дар = - 5а/з и \д\ = -1. Повороту, сопровождаемому отражением осей,
соответствует произведение матриц ад = да, для которого \ад\ = |а||д| = -
1. Преобразования с \а\ = +1 называются собственными, а с \а = - 1 -
несобственными.
Здесь \а\ - определитель матрицы преобразования. При инверсии трех
координатных осей матрица преобразования aajJb = - 5а/^, поэтому \а\ = -
1 и Р^р 7 = (-1 )?JrlPa(3. ..7 В соответствии с определением
псевдотензора 5-го ранга. Формула же (1.5) правильно описывает
преобразование истинного (полярного) тензора при поворотах и отражениях,
но не описывает
оо
1.3.
Ра(3 . . . к ~ \a\aa/ia(3u • • • . . . сг-
(1.253)
86
Глава 1
отражения псевдотензора. Преобразование (1.253) при поворотах совпадает с
