Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
II порядка, которому удовлетворяет Pi(x).
Решение. Пользуемся формулой Лейбница для вычисления производной п-го
порядка от произведения функций:
п
Ug){n) = Y,hu n! hJin~k)9ik)-" k\(n - k)\
Вычисляем
, )'+V ^ -
2 H\\dx) 2 Hi
2L 2 Н\
Из этого равенства и формулы Родригеса следует (1.186). Для получения
(1.187) пользуемся аналогичным соотношением:
(?) = (-3-D'+
+ 2(1 + 2)х(^)1+\х2 - 1)г + (I + 1 )(1 + 2)(?)\х2 - 1)г.
1.3. Специальные функции математической физики
65
Из двух полученных рекуррентных соотношений очевидным образом получается
дифференциальное уравнение Лежандра, которое имеет вид
(1 - ж2)Р/'(ж) - 2хР[{х) + 1(1 + l)Pi(x) = 0.
(1.188)
Второе линейно независимое решение уравнения Лежандра имеет особенности
при х = ±1. ¦
Пример 1.18. Присоединенные полиномы Лежандра определяются выражением
рг(*) = (1-*2г/2(?Гвд =
(I _ Т2\т/2 /+т л
2Ч\ (;&) (!•
189)
Получить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют
присоединенные полиномы Лежандра.
Решение. При т > 0 дифференцируем обе части уравнения Лежандра (1.188) т
раз и получаем уравнение вида
(1 - x2)F" - 2(т + 1 )xFr + (I - m)(l + т + 1 )F = 0
для функции
F{x) = (?)тPi{x)=(1 ~х2)~т/2рг(х)-
Подставив в полученное уравнение производные
F'(x) = (1 -ж2)_т/2
= П _о.2\-т/2
F (х) = (1-х )
dPj71
dx
d2P[r
dx2
тхРГ1
. 2 mx dP(tm) 1 -x2 dx
mPim rri(m + 2 )x2P{n
находим искомое уравнение
(1-х2)
d2P1rr
- 2x-
dpr
dx
+
1 - x
m
1 - x2
(1-x2)
2\2
РГ = o.
(1.190)
Поскольку уравнение нечувствительно к знаку га, то Pt т (х) и Р(tm) (х)
могут различаться только множителем, не зависящим от х (см. задачу
1.116). ¦
66
Глава 1
Пример 1.19. Пользуясь уравнением (1.190), доказать ортогональность
присоединенных полиномов Лежандра с одинаковыми значками т и разными I.
Решение. Записываем уравнение (1.190) в форме
и второе такое же уравнение для PJJ1. Далее умножаем первое уравнение на
Р{!г, второе на Pzm, вычитаем почленно и интегрируем по х. Получаем
Пример 1.20. Сферическая функция Лежандра Yzm($, ср) определяется
следующим образом:
где Pzm($) - присоединенный полином Лежандра, выраженный через
тригонометрические функции, С 1т - нормировочный множитель. Найти закон
преобразования этой функции при инверсии системы координат. Убедиться в
том, что сферические функции Лежандра ортогональны по обоим индексам при
интегрировании по всему телесному углу, и записать в явном виде условие
их нормировки на единицу.
Решение. При инверсии системы координат (см. раздел 1.1) полярные углы
преобразуются по правилу д -> 7г - ср -> 7cos'# -cos'#, eimLp основе
определения pj71 (х) (1.189) и (1.191) нахо-
РГ = 0
1
[1(1 + 1) - l'(l' + 1)] J Р(Г(х)РГ(х) dx = 0,
-1
откуда следует ортогональность
1
(1.191)
-1
Ylm($,<p)=ClmPr($)eimV,
(1.192)
ДИМ
Ylm($, ip) -> Ylm(ir - 0, тг + ip) = (-1 )lYlm($, ф). (1.193)
1.3. Специальные функции математической физики
67
Интегрированию по всему телесному углу соответствуют пределы изменения
углов 0^$^7г,0^(^^27г. Интегрирование по ср обеспечивает ортогональность
сферических функций по индексу га:
27г
J ei(rn-m>)V>d(p = 2n5mml'
О
Ортогональность по индексу I обеспечивается присоединенными полиномами
Лежандра (см. пример 1.19). Условие ортогональности и нормировки на
единицу имеет вид
7Г 277
J sin ¦ddd J dipYirm,('d,lf)Ylm(^,'f) = Sw5mm,. (1.194)
О о
Нормировочный множитель определяется из условия
1
2тг\С1т\2 J[Pr(x)]2dx = 1.
-1
Вычисление последнего интеграла см. в задаче 1.118. ¦
Приведем без вывода весьма полезное соотношение, называемое теоремой
сложения сферических функций. Если в - угол между двумя векторами (г, ср)
и (г', $',(р), т. е.
cos в = cos $ cos $ + sin $ sin $ cos (ip - cp'),
TO
I
Pi(cos0) = 2TfI (1-195)
m= - l
Вывод этого разложения можно найти в [Арфкен (1970)] и более полное
изложение в [Никифоров и Уваров (1984)]. Метод теории представлений групп
подробно описан в [Виленкин (1965)], [Гельфанд и др. (1958)]. См. также
[Абрамович и Стиган (1979)], [Градштейн и Рыжик (1971)], [Лебедев
(1963)], [Колоколов и др. (2000)].
68
Глава 1
Задачи
1.109. Показать, что при х = cos$ уравнение Лежандра принимает
вид
где I = 1, 2,... Для этого можно применить формулу Родригеса и прием,
использованный в примере 1.12 при рассмотрении функций Бесселя.
1.111. С помощью рекуррентных соотношений найти пять первых полиномов
Лежандра.
1.112*. С помощью формулы Родригеса доказать ортогональность полиномов
Лежандра с разными I и вычислить нормировочный интеграл
УКАЗАНИЕ. Выразить нормировочный интеграл через бета-функцию Эйлера.
1.113. С помощью производящей функции для полиномов Лежандра получить
разложение
1.114. Пользуясь результатами примера 1.17, получить второй поли-
2
ном Лежандра в форме Р2 = ак cos кд.
к=0
1.115. Записать уравнение (1.190) для присоединенных полиномов
Лежандра в сферических координатах.
1.116*. Пользуясь формулой (1.189), показать, что
(1.196)
1.110. Получить рекуррентные соотношения
