Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
функции L = grad?/', М = тоЬ(аф), N = rot М удовлетворяют векторному
уравнению Гельмгольца АЛ + к2 А = 0.
(1.101)
(1.100)
(1.99)
(1.102)
1.2. Векторный и тензорный анализ
43
Дифференцирование в криволинейных координатах. При использовании
криволинейных неортогональных координат qa (а = 1, 2, 3), в отличие от
декартовых прямоугольных координат (/3 = 1, 2, 3), производная по
координате от тензора ранга s ^ 1 не образует какого-либо тензора, в чем
мы убедимся ниже. Это обстоятельство связано с локальным характером
определения тензора (1.51), относящимся к конкретной точке. Производная
же определяется через разность значений двух векторов в близких, но
различных точках. Чтобы определить ковариантную производную от тензора
любого ранга, т. е. такую дифференциальную операцию, которая увеличивает
ранг тензора на единицу, рассмотрим для простоты тензор I ранга (вектор)
и разложим его по базисным векторам рассматриваемой криволинейной системы
координат:
А = А^е^ = А^. (1.103)
Продифференцируем равенства (1.103) и выделим из них ковариантные
производные:
А = е • | д dev ^ 104)
Аща-е^ Qqa - Qqa + Ave" д^, (1.1U4)
A^e^w = w+A"e*'w- (1Л05)
В левых частях равенств использованы общепринятые обозначения для ко-
вариантной производной от ковариантных и контравариантных компонент
вектора соответственно. После знака тождества следуют их определения, а в
правые части входят производные компонент вектора и базисных векторов.
Производные от базисных векторов в криволинейной системе координат, в
отличие от декартовой, отличны от нуля.
Дифференцируя равенство (1.48) по координате, находим
де1' _ _ и двм м ' dqa ' dqa' ( • )
Введем в рассмотрение символы Кристоффеля II рода:
де
Г^=е"-^?. (1.107)
С их помощью ковариантные производные записываются в более компактном
виде
44
Глава 1
Заметим, что символы Кристоффеля не являются тензорами, так как не
удовлетворяют соответствующим правилам преобразования. Они симметричны по
двум нижним значкам: Г^а = Г^д. Последнее свойство вытекает из
представления базисных векторов (1.46):
^ (1.109)
ддос д(у У )
Правила (1.108) вычисления ковариантной производной от тензора первого
ранга очевидным образом обобщаются на тензор произвольного ранга Т: кроме
производной от рассматриваемого тензора по координате, нужно добавить со
знаком "плюс" столько слагаемых типа ГТ, сколько у тензора верхних
значков, и со знаком "минус" столько слагаемых, сколько нижних значков.
Пример 1.9. Выразить символы Кристоффеля (1.107) через компоненты
метрического тензора д^и.
Решение. Определение символов Кристоффеля (1.107) позволяет записать
соотношение
deL
Оно получается из равенства (ev)\(evy = которое вытекает из представлений
базисных векторов (1.46), (1.49).
Введем также в рассмотрение символы Кристоффеля I рода Г*,, т с помощью
соотношения
де^ dq°
Из (1.110) и (1.111) следует, что символы Кристоффеля I и II рода можно
рассматривать как коэффициенты разложения одной и той же величины de^/dqa
по векторам ковариантного и контравариантного базисов.
Из (1.111) с помощью (1.48) находим
Ое
rV^=e".^. (1.112)
Умножая скалярно (1.110) на ед, (1.111) на еА и используя (1.50),
получаем связь между символами Кристоффеля I и II рода:
Г",^=^ЛГ^, Г^=5"АГ">ма. (1.113)
1.2. Векторный и тензорный анализ
45
Далее получаем последовательно, пользуясь симметрией по двум значкам,
отделенным запятой, и соотношениями (1.109), (1.112), (1.113):
Пример 1.10. Найти правила преобразования символов К рис то ф-феля I и
IIрода при переходе в другую криволинейную систему координат.
Решение. Проводим последовательные вычисления:
dqfl/ dqx dqG р деа dqfl/ dqx dq'K d2qa p
dqP dq,a dcdqx dq& dq,a dqx dq'^dq'^
dqfv dqx dqa p dqfv d2qf3
dqP dq'a dqrц X(J dq@ dq'adq'^ '
, _ dqP Q dqa _
v dq'a dq'v ^ dq'a dqffl a
dqP dqx dqG dea dq@ d2qa
dq'v dq'a dqffl ^ dqx dq'v dq'adq'^ ^
dqP dqx dqa dq$ d2q&
dq'v dq'a dqffl ^,A(J dq'v dq,OLdq,*l^^CT
Правилам преобразования тензоров соответствуют только первые слагаемые в
правых частях окончательных выражений; вторые слагаемые нарушают
указанные правила, поэтому символы Кристоффеля тензорами не
(1.114)
(1.115)
Г,и _ ,v . _ dq^ 0 _ _д_ d(f_
-L lirv i \ r> 1^. I. .
v _ !v A6 = 4 c0 ° 4 r
m ~ ' dqfa ~ dqP ' dqfa dq'" '
являются.
46
Глава 1
Пример 1.11. Доказать, что ковариантные производные вектора Аи-а и Аиа
преобразуются как ковариантный и смешанный тензоры IIранга
соответственно.
Решение. Пользуясь определением ковариантной производной (1.104) и
правилом преобразования (1.116), находим последовательно
дА'и
лf - ___________ у'" л' -
dq,a
_ d f 9qa ^ \ dqx f dq'u dqx dqa ^p dq'u d2qiB \ dqK ^ _
dqx \dq,fl a J dq,a \ dq18 dq,a dq,fl X(J dq18 dq,adq'^ ) dq'u K
s^e^faA,_rS (U18)
dq'M dqfa \ dqx J dq'M dq'
Мы доказали, что рассматриваемая величина преобразуется как ковариантный
тензор II ранга. При рассмотрении второго тензора необходимо использовать
равенство
dqfv d2q(S dq& dqx d2q'y ^
