Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
(1.5), так как в этом случае \а\ = +1.
Правило преобразования антисимметричного тензора III ранга еа/з7,
описывающее поворота и отражения, также должно содержать определитель
\а\. В отсутствие определителя компоненты тензора изменяли бы знак при
отражениях.
1.4.
тац = (1/2)(Тар + Т0а) + (1/2)(Та0 - Т{,а). (1.254)
1.5.
I rpah " rph
Та0=Т^ + Т$, где Т^ = (1/2)(Та0 + Т^), Та0 = (1/2)(Та/3 - Т*р).
1.9. Та/з образуют истинный тензор II ранга.
1.10.
Са = (1/2)еа/з7Дд7, (1.256)
т. е. С\ = Л2з = - Л32, С2 = А31 = - А13, С3 = А12 = -A2i.
1.11. А х В - псевдовектор или дуальный ему истинный антисим-
метричный тензор II ранга АрВ1 - А1Вр\ [Ах В\ х С - полярный вектор, [А х
В] • С - псевдоскаляр.
1.13.
dSa - dxp dx^, - (1у/2)бо;^7 dSp<y, (1.257)
где dS/37 = dxp dx^ - dx1 dx'p - проекция площади параллелограмма
на
координатную плоскость х@х1.
1.14.
dV = [dr х dr'] dr" = еа/з7 dxa dx'p dx". (1.258)
Элемент объема dl/ представляет собой псевдоскаляр. При dr = eicfai, dr'
= в2 dr" = ез с^з получаем обычное выражение для элемента объема в
декартовых координатах dV = dx 1 dx2 б&гз = dx dy dz.
1.16.
cos # cos $ cos $ + sin d sin dr cos(a - a'). (1.259)
1.4. Ответы и решения
87
1.17.
(.А х В)о =
(А х В)± 1 = - A±i50),
+i
АВ= (-1)М_мВм,
М=-1
= r(47r/3)1/2(-l)AlFiAl(^,a).
1.18. При переходе от декартовых ортов к сферическим (рис. 1.12 а) имеем
= аа/зе/з, где е/з (/? = 1, 2, 3) - декартовы орты, = г, а) - сферические
орты,
/ sin $ cos a sin д sin a cos д \
а = [ cos $ cos a cos sin a - sin i9 ] ,
\ - sin a cos a 0 /
/sin d cos a cos d cos a - sin a\ a-1 = I sin sin a cos sin a cos a ]
.
\ cos$ - sini9 0 /
При переходе от декартовых ортов к цилиндрическим ортам er, еа, ez имеем
(рис. 1.12 6)
/ cos a sin а 0\ /cos а - sin а 0\
а = - sin a cos а 0 , a-1 = sin a cos а 0 .
V 0 0 1/ V 0 0 1/
88
Глава 1
1.19.
/ cos a sin а 0\
'д = [ - sin a cos а 0 ] . (1.260)
V о 0 1/
1.20. Перемножая матрицы типа (1.8), получим
д{а1ва2) = д(а2)д(в)д(а1) =
С cos см 1 cos см2- cos в sin смi sin см2 sin cmi cos 0:2+ cos в cos cmi
sin см2 sin в sin см2 \
- cos cm 1 sin см2-cos 0 sin cm 1 cos см2 - sin cm 1 sin см2 + cos 0
cos cm 1 cos см2 sin 0 COS СМ2 ).
sin 0 sin cmi - sin 0 cos cmi sin cmi cos cmi/
(1.261)
1.21.
/ е^а1+а2)(1+cos6>)/2 -ieioi<1 sin0/л/2 -e^-"i)(1 _ cos6>)/2\
d(a6ct2)= [ - ielOL1 sin 0/V2 cos в - ie~lOL1 sinfl/v^ I
.
y_e*Oi-o;2)(1 _ cos0)/2 - ie~lOL2 sin9/л/2 е_г(а1+а2) (1
+ cos 0)/2/
1.22. Матрица поворота на нулевой угол равна единице (тождественное
преобразование), а при повороте на малый угол \еа/з\ "С 1. Для
доказа-
тельства антисимметрии е воспользуемся инвариантностью г2 = 5архахр
относительно вращении. Поскольку х'а + ?a/3%i3, то с точностью до малых
величин первого порядка имеем г'2 = г2 + 2гархахр. Из инвариантности г2
следует, что ?а(зхах(з = 0 при произвольных ха, а это возможно только при
еа(з = -?ра-
Введем вектор Sep с компонентами S(fa = (1/2)еа/з7?/з7. Тогда г' = = г +
5(р х г, откуда видно, что представляет собой вектор малого угла
поворота, направление которого указывает ось вращения, а величина - угол
поворота.
1.23. Если повороты задаются малыми векторами S(p1 и S(p2, то после
второго поворота
г" = г' + S(f2 X г' = Г + (S(f1 + S(f2) х г + <^2 Х (<^1 х г)
Вектор результирующего поворота 6(р = 6(р1 + S(f2 можно ввести только в
пренебрежении последним членом II порядка.
Некоммутативность матриц поворота в общем случае можно увидеть из
выражения (1.261): выполнение поворотов в последовательности а2, в, ai,
обратной той, для которой записана матрица (1.261), соответствует замене
а\ -> а2. При этом вид матрицы изменится, если в ^ 0. Случай в = 0
отвечает поворотам на углы а\ и а2 вокруг одной и той же оси Охз, и такие
повороты коммутативны.
1.4. Ответы и решения
89
1.24. Произвольный действительный тензор II ранга можно записать в виде
Та/з = Ба/з + Аа/з, а произвольный эрмитов тензор - в виде Та/з = = Sap +
iAap, где Sap и Аар - симметричный и антисимметричный действительные
тензоры. Антисимметричный тензор Аар эквивалентен вектору (см. зад.
1.10), который нельзя обратить в нуль никаким поворотом. Поэтому
диагонализуется только действительная симметричная часть произвольного
тензора II ранга.
1.25.
Sa/3 = + Л(2)п^2)п^2) + Л(3)п^3)п^3). (1.262)
1.26. Раскрыв определитель (1.27) и учитывая, что главные значения
тензора Л будут инвариантами только в случае, если таковыми являются
коэффициенты алгебраического уравнения 3-й степени, находим три
инварианта:
h = Tu + Т22 + Тзз = А" + А<2> + Д(3\ (1.263)
I2 = Dn + ?>22 + ?>зз = А^А^) + А(1>А(3) + А^2>А^3), (1.264)
/ = ?> = AWA(2)A(3\ (1.265)
где D = \Т\ - определитель тензора, a Dap - алгебраические дополнения
этого определителя. Выражения в правых частях равенств следуют из теоремы
Виета о связи коэффициентов кубического уравнения с его корнями.
Полученные результаты относятся к произвольному тензору II ранга.
1.27. Разложения определителя D = \Т\ по элементам а-й строки или /3-то
