Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Батыгин В.В. -> "Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория" -> 17

Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.

Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория: Учебное пособие — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 736 c.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка): sovremennayaelektrodinamikat12002.pdf
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 225 >> Следующая

у, г. Найти формулы преобразования от эллипсоидальных к декартовым
координатам. Убедиться в ортогональности эллипсоидальной системы
координат. Найти коэффициента Ламэ и оператор Лапласа в эллипсоидальных
координатах.
1.95*. При а = Ъ > с эллипсоидальная система координат (см. предыдущую
задачу) вырождается в так называемую сплюснутую сфероидальную систему
координат. Координата ? при этом переходит в постоянную,
1.2. Векторный и тензорный анализ
51
равную -а2, и должна быть заменена другой координатой. В качестве
последней выбирают азимутальный угол а в плоскости ху. Координаты ?, г]
определяются из уравнений
..2 .4
=i,
а2 + ? с2 + ?
9 9
где г = яг
Г] Cz + Г]
2
= 1, - с ^ г] ^ - а ,
Г
Поверхности ? = const представляют собой сплюснутые эллипсоиды вращения
вокруг оси Oz, поверхности г/ = const - софокусные с ними однополостные
гиперболоиды вращения (рис. 1.6).
Найти выражения г, z в сплюснутых сфероидальных координатах, коэффициенты
Ламэ и оператор Лапласа в этих координатах.
1.96*. Вытянутая сфероидальная система координат получается из
эллипсоидальной (задача 1.94) при а > Ъ = с. Координата г] при этом
вырождается в постоянную и должна быть заменена азимутальным углом а,
отсчитываемым в плоскости yz от оси Оу. Координаты ?, ( определяются из
уравнений
I I
а2 + ? 62 + ?
+
+ С Ъ2 + С
= 1,
где г2 = у2 + z2.
Поверхности постоянных ? и г] представляют собой вытянутые эллипсоиды и
двухполостные гиперболоиды вращения (рис. 1.7). Выразить величины х, г
через ?, ?; найти коэффициенты Ламэ и оператор Лапласа в переменных а.
52
Глава 1
1.97*. Бисферические координаты rj, а связаны с декартовыми координатами
соотношениями
a sin г] cos a a sin rj sin a a sh ?
х=~^-----------' У=~\-------------> z = ~^-----------'
ch ? - COS Г] СП ? - COS Г] СП ? - COS Г]
где а - постоянный параметр, - оо<?<оо, 0 < 77 < тг, 0 < а < 27г.
Показать, что координатные поверхности ? = const представляют собой сферы
х2 +у2 + (z-acoth?,)2 = ,
поверхности г] = const - веретенообразные поверхности вращения вокруг оси
Oz, уравнение которых
(\/х2 + у2 - a cot 77)2 + z2 = ( ) ,
v 4 \ sin 77/
поверхности а = const - полуплоскости, расходящиеся от оси Oz (рис. 1.8).
Рис. 1.8
Убедиться в том, что эти координатные поверхности ортогональны между
собой. Найти коэффициенты Ламэ и оператор Лапласа.
1.2. Специальные функции математической физики
53
1.98*. Тороидальные координаты р, а образуют ортогональную систему и
связаны с декартовыми координатами соотношениями
a sh р cos a a sh р sin a a sin ?
х = -|--------у=----------------- z = -------------
ch р - cos ? eh р - cos ? ch р - cos ^
где а - постоянный параметр, - оо < р < оо, -7г <^<7г, 0<а<7г.
Рис. 1.9
Показать, что р = ln(ri/r2) (см. рис. 1.9, на котором изображены
плоскости а = const, а + 7г = const), а величина ? представляет собой
угол между г\ и г2 (^ > 0 при z > 0 и ? < 0 при z < 0). Какой вид имеют
координатные поверхности р и ?? Найти коэффициенты Ламэ.
Рекомендуемая литература: [Борисенко и Тарапов (1966)], [Ли (1965)],
[Арфкен (1970)], [Морс и Фешбах (1958)], [Курбатова и Филиппов (1998)],
[Мэтьюз и Уокер (1972)], [Рашевский (1953)], [Вейнберг (1977)], [Стрэттон
(1948)].
1.3. Специальные функции математической физики
Цилиндрические функции используются при решении многих конкретных задач.
Наиболее употребительная из них - функция Бесселя -
54
Глава 1
может быть получена путем разложения специально выбранной экспоненты
(производящей функции) в степенной ряд по и:
ч ОО
ехр<; f (и - I = ^ Jn{x)un. (1.139)
' п= -ОС
Коэффициенты этого разложения называются функциями Бесселя I рода порядка
п. Представление функции Бесселя в виде степенного ряда можно получить из
степенных рядов для экспонент:
00 г 00 -
ЧтМ-я) -ш тг2>ч*Й) <U4t"
r=0 s=0
Напомним, что эти разложения справедливы при любых, в том числе
комплексных, значениях х ии ввиду неограниченности радиуса сходимости
ряда для экспоненты. Перейдя к суммированию по п = г - s (-ос < п < оо),
получим из (1.140)
Ц!Ы)}= Е
4 У 77,= -ОО S=0 4 ' п= -ОС
(1.141)
откуда следует
т ( \ _ (_1)S (x\n+2s 1/|ОЛ
J-(a;)-Es!(n + s)!(2j • (1Л42)
s=0 4 '
Это представление для Jn(x) целесообразно использовать при п ^ 0. При п <
0 вместо (1.142) можно записать
тм-Х" (-1)8 (x\n+2s ^ (~1)'+N ^|ra|+2s
^ s!(n + s)!UJ Е s\(\n\ +s)! С 2 J ' }
s=\n\
поскольку при 5 + п < 0, (s + п)\ -> оо. В итоге получаем простую
зависимость между функциями Бесселя целого положительного и
отрицательного порядков:
J-n(x) = (-l)nJn(x). (1.144)
Пример 1.12. Получить рекуррентные соотношения между функциями Бесселя
разных порядков путем дифференцирования равенства (1.139) по и и по х и
сравнения правой и левой частей равенства.
1.3. Специальные функции математической физики
55
Решение. Дифференцируя (1.139) по и, имеем
2 V1 + и2 ^ 6ХР
оо
= |(1 + Л)х Е Jn{x)un= Y, riJn(x)un-\
и ,
П= - ОО
Приравнивая коэффициенты при ип 1 в правой и левой частях последнего
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 225 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed