Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
При больших X
1 • 3 ... (2/ + 1) '
Z+2
"-z-i
х -
1 • 3... (2/ - 1)' (Z + 1)7Г"
ж -
(Z + 1)тт
}•
Задачи
1.99. Вычислить неопределенные интегралы
J хиZv-i(x) dx, J х~иZv+i(x) dx.
1.100. Вычислить определенные интегралы
(1.171)
(1.172)
(1.173)
60
Глава 1
1.101. Доказать равенство интегралов
оо оо
I Jn(x)dx = J Jn+2(x)dx, где п = 0,1,...
о о
1.102. Получить интегральное представление
1
ы*) = I j
C0S их du.
и*
Указание. Сделать подстановку и = sin Lp. 1.103*. Вычислить интегралы
7Г / 2 7г/2
I Jq (х cos ф) cos cpdcp = х, J J\ (x cos (f) dip = ^ cos:r 0
Указание. Можно воспользоваться разложением в степенные ряды.
1.104. Вывести формулы
ад =
1.105. Вывести рекуррентные соотношения для модифицированных функций
Бесселя
- Iv+i(z) - ^ 174)
L-i(z) + /,+iW = 27' (z),
^_1(z)-^+1(*) = -^(*), (L175)
1.106*. Показать, что
оо
Ло(|п-r2|) = Е Jn(ri)J"(r2)exp(mi?),
п= -ОО
где $ - угол между векторами п и Г2-
1.3. Специальные функции математической физики
61
1.107*. 1. Записать уравнение, которому удовлетворяет функ-
ция и (х) = Jn(ax).
2. Вычислить интеграл (Ъ ^ а)\
[ xJn(ax)Jn(bx)dx = aJn(a)Jn(b)-bJn(b)Jn(a)'
J bl - а1
о
3. Пусть а ф Ъ - корни уравнения Jn(x) = 0, т. е. Jn(a) = Jn(b) = 0.
Показать, что
1 1
J xJn(ax) Jn(bx) dx = 0, J xJ2(ax) dx = ^[J^a)]2. (1.177)
Замечание. Первое равенство (1.177) выражает свойство, которое называется
ортогональностью функций Бесселя с весом х.
1.108*. Вывести "теоремы сложения" для бесселевых функций:
оо
^ Jn-k{p^)Jk{y) = Jn{% + у\ п = 0, 1, 2 ... 5
к= - оо
(1.178)
оо
(-1 )kJn-k(x)Jk(x) =0, п = 1,2...; (1.179)
к= - оо
оо
7о(жУо(у) + 2^(-1)*Л(ЖШу) = Мх + у), п= 1,2...; (1.180)
/е=1
оо
702(ж) + 2?(-1)*^(Ж) = J0(2(r)). (1-181)
/е=1
Сферические функции и полиномы Лежандра широко используются во многих
разделах физики, особенно в электродинамике и квантовой механике.
Производящей функцией для полиномов Лежандра Pi (cos $) служит обратное
расстояние между двумя точками с радиусами-векторами а и г, угол между
которыми равен $:
1-"-г= /0 " 1 = = Ь У2 (г) Л (cost?), а/г <
л/r2 + а2 - 2аг cos$ , _ V /
z=o
(1.182)
62
Глава 1
Обозначив х = cos'#, и = а/г и использовав биномиальное разложение,
которое для отрицательного показателя удобно записать в форме
а также биномиальное разложение для ап = (2их - и2)п, получим двойную
сумму:
(1 - 2их + и2)-1/2 - У'______Г(п + 1/2)_('_i'\fc('2x')n_feun+fe
(1 2Ш- + -) -^Г(1/2)И("_Ч,< I2*)
Перейдем к суммированию по кип-\-к = 1^ 0, что приведет к перестановке
членов ряда. Такая перестановка в данном случае законна, так как
бесконечный ряд сходятся абсолютно, что будет видно из дальнейшего. В
итоге будем иметь
В двух последних равенствах сумма по к фактически ограничена значением
целой части числа I/2, так как бесконечный факториал отрицательного
целого числа в знаменателе устраняет все слагаемые с / - 2к < 0.
Пример 1.15. Найти значения полиномов Pi(l), Р/(-1), Pi(0), придавая углу
$ в (1.182) частные значения и пользуясь биномиальным разложением.
оо
(1 - 2их + и2) х!2 = ^ ^
/=о к=о
оо
Pl{x)ul,
где
1.3. Специальные функции математической физики
63
Решение. Полагая cos$ = 1, находим из (1.182)
оо оо
/=0 /=0
и следовательно, Pi( 1) = 1 при всех /, а Ро = 1 при 0 ^ ^ 7г.
Аналогич-
ным образом получаем
Л(-1) = (-!)'.
РзДО) = i>l; (1.184)
P2z+i(0)=0, 1^0.
Пример 1.16. Получить ограничения на величину полиномов Лежандра | Pi
(cos $) | ^1 путем анализа разложения производящей функции (1.182) в ряд
по cos гиф.
Решение. Получаем последовательно из производящей функции
(1 - 2mcos7? + и2)-1/2 = (1 - ие")-1/2^ - ие^у1/2 =
= |l + + !и2е2г" + ... J х |l + ±ие~г" + |и2е~ш + ... J =
ОО
= Pi(cos$)ul, 1=0
где Pi (cos i9) = Y^k=о ak cos Коэффициенты ak подбираются из величин,
стоящих в фигурных скобках, и важно, что все они неотрицательны: а/е ^ 0.
В этом случае сумма ak cos Ы максимальна при $ = 0, что соответствует
Р/(1) = 1. Следовательно, |P^(cos$)| <1. ¦
Произведенная оценка позволяет установить, что ряд (1.182) при а/г < 1
оо
сходится абсолютно, т.е. сходится ряд |P/(cos$)|(а/г)г. Это следует из
/=0 00 установленного неравенства и того факта, что мажорирующий ряд
J2(a/r)
1=0
заведомо сходится при a/r < 1 - он представляет собой сумму членов
бесконечной убывающей геометрической прогрессии.
64
Глава 1
Из разложения (1.183) можно получить более компактное представление для
полиномов Лежандра, выполнив последовательно следующие преобразования:
Р1Х\ = y^(_l)fe_________W ~Щ'-___________х1-2к='у (~1)fc (A)lx2l-2k =
2lk\(l - k)\(l - 2к)\ 21кЩ - к)\ \dx)
1)1 (1Л85)
Последнее выражение для полиномов Лежандра называется формулой Родригеса.
Пример 1.17. С помощью формулы Родригеса вывести рекуррентные соотношения
между полиномами Лежандра:
Р{(х) = xPUix) + Щ_ i(:r); (1.186)
(1 - х2)Р{'(х) = 2(1 + 1 )Р{+1{х) - 2(1 + 2)хР{(х)~
~(l + l)(l + 2)Pl(x). (1.187)
Пользуясь указанными соотношениями, получить дифференциальное уравнение
