Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
rot через оператор V, убеждаемся, что равенство (1.79) выполняется
тождественно для любой функции U(r), имеющей вторые производные.
Дифференциальные операции второго порядка. Они возникают, если оператор V
применяется к выражениям VU, V • А, V х А, уже содержащим этот оператор.
Пользуясь правилами векторной алгебры, находим
V • VU(r) = (V • V)U(r) = V2U(r) = AU(г), (1.80)
где оператор Лапласа А = V2 имеет в декартовых координатах вид
д = 1? + |? + 1?' <181)
Это - очень важный оператор, возникающий почти во всех задачах, когда
требуется описать на математическом языке достаточно сложное физическое
явление.
Далее,
VV • А = V(V • Л) = grad div А. (1.82)
Хотя такая комбинация производных возникает нередко, для нее не придумано
более компактного буквенного обозначения.
Последняя операция такого рода носит название двойного вихря. Она
преобразуется с помощью формулы векторной алгебры "бац минус цаб" (не
забывая ставить дифференцируемую векторную функцию правее всех
действующих на нее операторов):
rotrot А = V х (V х А) = V(V • А) - V2A = grad div Л - АЛ. (1.83)
Мы видим, таким образом, что все дифференциальные операции со скалярными
и векторными функциями выражаются через оператор Гамильтона "набла".
40
Глава 1
Задачи
1.58. Показать, что div А (1.67) и оператор Лапласа (1.81) инвариантны
относительно поворотов декартовой системы координат, a rot Л (1.68)
преобразуется как антисимметричный тензор II ранга либо как дуальный ему
вектор.
1.59. Вычислить div г, rot г, div[ct? х r\, rot[cc? х г\, где uj -
постоянный вектор.
1.60. Вычислить
(га х г)
Н = rot-----------, га = const.
Построить векторные линии для вектора Н (дать рисунок).
1.61. Пользуясь правилами векторной алгебры и анализа и не переходя к
проекциям на оси координат, доказать важные тождества, которыми
приходится часто пользоваться в практических расчетах:
grad(срф) = ср grad?/' + grad^; (1-84)
div((^A) = ср div А + А • grad(^; (1.85)
rot(ipA) = ip rot Л - A x grad cp; (1.86)
div(A x В) = В • rot A - A - rot В; (1-87)
rot(A x B) = A div В - В div A + (B • V) A - (A • V)B;
(1.88)
grad(A • B) = A x rot В + В x rot A + (B • V)A + (A • V)B. (1.89)
Здесь cp, ф - скалярные, а А, В - векторные функции координат.
1.62. Доказать тождества:
С • grad(A - В) = А - (С - V)B + В (С V)A; (1.90)
(С • V)(A х В) = А х (С - V)B - В х (С • Л); (1.91)
(V • А)?? = (Л • V)?? + В div Л; (1.92)
(А х В) • rotC = В • (Л • V)C - А (В - V)C; (1.93)
(А х V) х В = (А • V)B + Л х rot S - Л div S; (1.94)
(V х Л) х В = A div В - (А - Х7)В - А х rot В - В х rot Л. (1.95)
1.63. Вычислить grad^(r); divy?(r)r; rot cp(r)r; (I • V)<^(r)r.
1.64. Найти функцию <?>(r), удовлетворяющую условию div cp(r)r = 0.
1.65. Найти дивергенции и вихри следующих векторов:
(а • г)6, (а • г)г, (р(г)(а хг), г х (а х г), где а и b - постоянные
векторы.
1.2. Векторный и тензорный анализ
41
1.66. Вычислить gradr • A(r), grad А(г) • B(r), divcp(r)A(r), rot
ip(r)A(r), (I • V)(^(r)A(r).
1.67. Доказать, что
(.A • V) A = - A x rot А при A2 = const.
1.68. Интеграл по объему f (grad cp • rot A) dV преобразовать в инте-
v
грал по поверхности.
1.69. Выразить интегралы по замкнутой поверхности § г (а • dS),
s
§{а • г) dS, где а - постоянный вектор, через объем, заключенный внутри
s
поверхности.
УКАЗАНИЕ. Умножить каждый из интегралов на произвольный постоянный вектор
b и применить теорему Остроградского - Гаусса.
1.70*. Интегралы по замкнутой поверхности
j)n(pdS, j)(nxA)dS, j)(ri'b)AdS, j) Tap(r)np dS
(b - постоянный вектор, n - орт нормали) преобразовать в интегралы по
объему, заключенному внутри поверхности.
1.71. Воспользовавшись одним из тождеств, доказанных в предыдущей задаче,
вывести закон Архимеда путем суммирования сил давления, приложенных к
элементам поверхности погруженного в жидкость тела.
1.72*. Доказать тождество
/
(A-rot rot ?? - ??• rot rot A) dV = j) (B x rot A - A x rot B)-dS. (1.96)
У s
1.73. Внутри объема V вектор А удовлетворяет условию div А = 0, а на
границе объема (поверхность S) - условию Ап = 0. Доказать, что f AdV = 0.
у
1.74*. Доказать, что
Г А(г') dVf
divr / П-------7Г = °'
J г-г'
V
где А(г) - вектор, определенный в предыдущей задаче.
42
Глава 1
1.75. Доказать тождества Грина:
J(срАф + \7ср\7ф) dV = j) ср\7ф • dS, (1-97)
v s
J(срАф - фАср) dV = j)(cpVip - ipVcp) • dS, (1-98)
v s
где cp, *ф - скалярные дифференцируемые функции.
1.76. Интеграл по замкнутому контуру § и df преобразовать в инте-
I
грал по поверхности, опирающейся на этот контур.
1.77*. Доказать интегральные тождества:
Здесь п - орт нормали к поверхности, ср, А - функции координат, I -
замкнутый контур, S - незамкнутая поверхность, ограниченная этим
контуром. Приведенные тождества можно рассматривать как частные случаи
обобщенной теоремы Стокса
где символом (...) обозначен тензор произвольного ранга.
1.78. Показать, что если скалярная функция является решением уравнения
Гельмгольца Аф + к2ф = 0 и а - некоторый постоянный вектор, то векторные
