Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Батыгин В.В. -> "Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория" -> 18

Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.

Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория: Учебное пособие — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 736 c.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка): sovremennayaelektrodinamikat12002.pdf
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 225 >> Следующая

равенства, находим
Jn-i(x) + Jn+1(x) = Щ-Jnix). (1.145)
Дифференцируя (1.139) по х, получим аналогичным образом
Jn-1{x)-Jn+1{x) = 2J'n{x). (1.146)
Эти рекуррентные соотношения можно переписать в других формах:
Jn± 1 = рп{х) Т j'n{x)\ JnT 1 = ±xTn?[x±nJn(x)\- (1.147)
Ji(x) = -Jo(x). (1.148)
В частности,
Пример 1.13. Получить представления функции Бесселя в виде интегралов от
экспоненциальных и тригонометрических функций. Для этого использовать
подстановку и = exp(icp) в разложении (1.139).
Решение. Указанная подстановка приводит к разложению
оо
ехр(гж sin (/?) = Jn(x) exp(imp). (1.149)
п= - оо
Воспользуемся периодичностью функций sin ср и exp (imp), а также легко
проверяемым равенством
а+277
J ехр(г(п - m)(^) dip = 27г^
56
Глава 1
где т - целое число, а - любое действительное число. Умножив обе части
(1.149) на ехр(-irrap) и проинтегрировав по ср, получим интегральное
представление для функции Бесселя:
СМ + 27Г
Jm(x) = 2^: / ехр(гж sin(/? - irrap) dip =
ск+2тг
J exp (ix cosip - irrap) dip. (1.150)
СМ + 27Г
НГ
2tt
Пример 1.14. Предположим, что некоторые функции Zv(x), отличные вообще
говоря от функций Бесселя (1.142), удовлетворяют рекуррентным
соотношениям (1.145)-(1.148) при произвольном комплексном значении п = v.
Вывести дифференциальное уравнение II порядка, решением которого является
Zv{pc).
Решение. Продифференцируем второе равенство (1.147) по х и добавим к нему
слагаемое, равное нулю (заменив п -> v, Jn -> Zv)\
Z' =
К-1 = [x-vWZv)']' + l(z'v + %ZV - zv_^ =
Снова добавляем в правую часть слагаемое, равное нулю:
ry! _ ryll | У Н- 1 ry! 1 у | V
- x^v-1 + X
__ ry!! I 1 ry! V ry I V 1 ry
- + x^v - + X 1 •
Наконец, из второго равенства (1.147) находим, делая замену n +1 -> и,
Jn * Zv.
ry __ V 1 ry ryl
v - X ^-1 ^v-\'
Исключая Z'v_x из последних двух равенств, получаем уравнение Бесселя,
которому удовлетворяет функция Zu(x):
z'; + ±z^+fi-?)z" = o. (i.i5i)
1.3. Специальные функции математической физики
57
Такое или сходное уравнение возникает во многих физических задачах. Мы
ниже дадим краткую сводку основных сведений о решениях этого уравнения.
Вывод соответствующих формул можно найти в специальных математических
руководствах: [Виленкин (1965)], [Лебедев (1963)], [Никифоров и Уваров
(1984)], [Мэтьюз и Уокер (1972)], [Арфкен (1970)], [Градштейн и Рыжик
(1971)], [Абрамович и Стиган (1979)], [Ли (1965)].
Решение уравнения (1.151), которое при Re v ^ 0 ограничено при х -> 0,
называется функцией Бесселя I рода. Ее можно представить в виде
степенного ряда, который является обобщением (1.142):
5 = 0 4 7
Независимая переменная обозначена через г, поскольку ряд сходится при
всех v и во всей комплексной плоскости г с разрезом вдоль отрицательной
части действительной оси.
Вторым линейно независимым решением при v ф п = 0, ±1.. . может служить
J-V(x). При п целом между двумя указанными решениями существует линейная
связь (1.144), поэтому в качество второго решения выбирают функцию
Бесселя II рода (она же функция Неймана и функция Вебера)
wMz)cos^ - J-Az) "
MZ) = ----------:-----------, (1.153)
Sin V7Г
для которой существует конечный предел при v -> п.
В качестве двух линейно независимых решений можно выбрать также функции
Бесселя III рода (их называют еще функциями Ханкеля)
Hl1\z) = Jv(z) + iYv(z), Hi2\z) = Jv(z)-iYv{z). (1.154)
Все перечисленные функции являются решениями уравнения Бесселя.
(1 2)
Функции Yv, Н" ' ' имеют особенности при z -> 0. Все решения
удовлетворяют рекуррентным соотношениям (1.145)-(1.147) (с заменой п ->
v, Jn Zjs)-
Асимптотические значения: при z -> 0
Ju(z)&-----------(1.155)
V ' 21T(t' +1) Т ' V ;
j(yV)t~ ул.) ~ -
гм,
^(|) , Re zv > 0; (1.157)
58
Глава 1
при \z\ -> оо и произвольных v J^z) ~ \flhcos(
1агё^1<7г;
?Лг) ~ s[n(z - 1| arg z| < 7г;
Kz- - - -1 2 4
-7Г < arg z < 27t;
(1.158)
(1.159)
(1.160)
т!ехР
, -27Г < arg z <n. (1.161)
Цилиндрические функции от чисто мнимого аргумента называются
модифицированными функциями Бесселя (а вторая из них - также функцией
Макдональда). Они определяются соотношениями
либо
оо
-^о) = (§)
8 = 0
(.z/2)
2 S
s!T(z/ + 5 + 1)
TS Г"\ _ 7Г I~v(Z) Iv(Z)
- Г)
2 sm г/7г
(1.162)
(1.163)
(1.164)
Эти функции принимают действительные значения при действительных v и z >
0. Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования получаются из
(1.145)-(1.147) и (1.162), (1.163). В частности,
I^z) = h{z), Kf0(z) = -K1(z). (1.165)
Модифицированные функции Бесселя удовлетворяют уравнению
W:
" 1 jW'-tl + ^)W" = 0.
ш
(1.166)
(1.167)
2vT{v + 1)
K0(z)^-lnz, Kv(z)& Re ^ > 0; (1.168)
1.3. Специальные функции математической физики
59
ш
л/ 27Г Z
ez, | arg z\ < 7г/2;
Ku(z) " \/т^е z, | arg z\ < Зтг/2.
(1.169)
(1.170)
Сферические функции Бесселя и Ханкеля нередко возникают при решении
физических задач в сферических координатах. Они имеют полуцелый порядок и
определяются равенствами
(1?2) ___ / 7Г гг(1,2)
При малых ж
ji((r)) ~
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 225 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed