Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
столбца записываются соответственно в виде
TotfiD (3~{ = DSa (з, DryaTry(3 = D5a(3,
где D1Ci = (-l)a+7A7Q: - алгебраическое дополнение, Д7С* - минор
определителя D, т. е. определитель, получающийся вычеркиванием в
последнем 7-й строки и /3-то столбца. Согласно (1.265) определитель
тензора D - инвариант, а поскольку 5ар - тензор, то алгебраические
дополнения Dap также образуют тензор. Отношения
T~^ = DaP/D (1.266)
образуют тензор, обратный Т. Для существования обратного тензора
необходимо и достаточно, чтобы D = \Т\ / 0.
90
Глава 1
1.29. а)А2(В-С) + (А-В)(А-С); [(АхВ)хС\ ¦ [А! хВ')хС'\\ 1.31.
(А ¦ А')(В ¦ В')(С ¦ С')+ (А ¦ В')(В ¦ С')(С ¦ А')+
+ (В ¦ А!)(С • В')(А ¦ С') - {А • С'){С • А'){В ¦ В')-- (А ¦ В')(В ¦
А')(С ¦ С') - (В ¦ С')(С ¦ В')(А ¦ А').
1.32. Проведем доказательства для вектора и тензора II ранга.
а) Так как компоненты вектора по условию должны быть одинаковы во всех
системах отсчета, то при любом повороте А[ = Ai, т. е. Ах = Ах, Ау = Ау,
Afz = Az. Повернув систему координат вокруг оси oz на угол 7г, из формул
преобразования компонент вектора при вращениях, получим А!х = -Ах, Ау = -
Ау, A'z = Az. Эти равенства совместимы с предыдущими только в том случае,
если Ах = Ау = 0. Произведя поворот вокруг оси oz на угол 7г, точно так
же докажем, что Az = 0, т. е. вектор А = 0.
б) Любой тензор II ранга можно представить в виде суммы симметричного
и антисимметричного тензоров: = Sik + А^. Антисимметричный
тензор эквивалентен некоторому псевдовектору и, в силу доказанного выше
свойства вектора, его компоненты не зависят от системы отсчета только
тогда, когда они равны нулю. Поэтому рассмотрим симметричный тензор Sik-
Выберем систему координат, в которой Sik имеет диагональный вид X^Sik.
Если не равны друг другу, то компоненты тензора будут зависеть от выбора
осей, т. е. от того, какой цифрой (1, 2 или 3) обозначена данная ось.
Только при А^1) = А^2) = А^3) = А компоненты тензора не будут зависеть от
выбора осей. При этом тензор будет иметь вид А5^, что и требовалось
доказать.
1.33. Искомые средние значения равны интегралам:
Величины па, Щ/Пр и т.д. являются тензорами соответственно 1,11 и т.д.
рангов. С другой стороны, из их определения следует, что эти величины
должны быть инвариантны относительно поворотов. Поэтому они будут
выражаться через такие тензоры, компоненты которых не зависят от системы
отсчета. На основе предыдущей задачи получим:
J па dfl, папр
47Г
J папр d?t
Па = 0, ПаПр = (1/3 )6а0, = 0,
- (1/15) (^а/З^-уд + За*-?3(3/1 Н- 3a/i3(3^) •
1.4. Ответы и решения
91
1.34. а2/3, а -Ь/3, а/3, 2а2/3, 2а • 6/3.
[(а • 6)(с • d) + (а • с)(Ь • d) + (а • d)(b • с)]/15.
1.35. п2, п'2, I2, п п', (nxn')'i, (n-l)2, (n'-l)2, (n l)(n' I).
1.36. П • /, n' l, Til • (п2 х пз)-
1.37.
а) = е!а ¦ е@;
б) если е0 = (а~1)0ае'а, то (а_1)/за = е'а ¦ е0 = аа0 ф аапо определению
обратной матрицы р = 5^, = г)';';
в) е/а = ааре^, еа = арае'Р;
г) А'0 = а0аАа, Аф = а,РаАа\ Аа = а^аА'0, Аа = а0аА//3;
Д) 9а0 = аа1а0€д1<:, д'а& = аа7а/3ер76, дар = а7аае/з^6, ра/3 = =
а1аае0д'1€.
Замечание. Формулы г) непосредственно обобщаются на случай преобразования
ковариантных, контравариантных и смешанных компонент тензора любого
ранга.
1.38. Компоненты векторов обоих базисов при отражении системы координат
меняют знаки.
е'а = - еа, е,(Х = - еа, а = 1, 2, 3.
1.39.
А В = да/3АаАр = да0АаА13 = АаВа = АаВа = inv, (1.267) dl2 = dr ¦ dr =
ga>3 dxa dx0 = ga0 dxa dx13 = dxa dxa = inv. (1.268)
Замечание. Во всех случаях, когда ковариантные и контравариантные
компоненты не совпадают, операция свертывания должна производиться как
суммирование по одному верхнему и одному нижнему значку. Сумма любого
тензора по двум верхним или двум нижним значкам не является тензором
какого-либо ранга.
1.40.
Са = y/giA^B1 - А7В13), Са = -^=(АрВу - А^Вр), (1.269)
л/9
где д = \д\, числа а, /3, 7 образуют круговую перестановку 1, 2, 3.
Приведенные формулы можно рассматривать как обобщение выражения (1.23а)
на случай косоугольного базиса. Записав (1.269) в форме
СаЕа/з-уА13 В*у, Са = Е^АрВ-у, (1.270)
92
Глава 1
находим представление для антисимметричного тензора III ранга в
косоугольном базисе:
Еав1 = ^деа01, Еа^ = -±-еаР\ (1.271)
л/9
где еа/з7 и еа@7 относящиеся к ортогональному базису, одинаковы и
определяются условиями (1.21). Нетрудно проверить, что Еа@1 получается из
Еар7 (и наоборот) по правилу подъема и опускания значков согласно (1.35).
Л
1.41. cos 0= A(xt5
(.А(3А(3В1В1)1/2'
1.42. 9tlv = (е^Це^, = (е^Ие^)",
сЬ))
9е=(е?п)Г(е(а0)1 = %-
1.44. А2 = дазАаВ/3 = АаВа; cos в = -АаВ- полной ана-
f (А2 В2)
логии с результатом 1.41 для аффинной системы.
1.45. По общим правилам (1.271) имеем
EW\ = dq^dq^dq^eafз7
дха дх@ дх1
откуда следует антисимметрия E^vX по любой паре значков. Это позволяет
записать Еа= Sea^7, где S - некоторый скаляр. Для его определения
рассмотрим частный случай и получим
123 _ dq^_df_ дф_а(н _ typ _ !_ 1/2
J У 1
