Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
- 4 4 4 е"Р7 _
дха дх$ дх1
дх°
где использованы (1.39) и (1.53). Таким образом, S = g 1^2, и мы получили
другим способом вторую формулу (1.271).
1.46. а) сй( 1) = y/giidq1, <1Ц2) = yf&ndq2, dl(3) = ^/g^dq3;
б) такими тремя векторами является ковариантный базис (1.46);
в) с помощью результатов задачи (1.44) находим
а 912 а #13 а 923
COS #12 = , COS #13 = , COS #23 = |
\J9\\922 \/ дидзз \/9229зз
1.4. Ответы и решения
93
г) для ортогональности системы криволинейных координат необходимо и
достаточно выполнения равенств д\2 = #23 = #13 = 0 в каждой точке
пространства.
1.47. Для сферической системы
9rr = 1? Q'd'd = ^ ? ^смо: = ^ sin = дга = ^q; = 0;
prr = 1} gm = r-2^ да" = r-2sin-2t9) grS = gra = дОа = Q.
er = er = er*, = r2e1? = гег, еа = r2sin2t9ea = rsin?9ea*.
Для цилиндрической системы
$гг = ^2;2; = 1? 9аа = ^ ? ^гсм = = ^/си2: = 0?
grr = gzz = 1, gaa = r~2, gra = grz = gaz = 0;
er = er = er*, ea = r2ea = rea*, ez = ez = ez*.
Здесь звездочкой обозначены единичные базисные орты, введенные в задаче
1.18. Ковариантные и контравариантные базисные векторы имеют неодинаковую
размерность и неодинаковую длину, отличную вообще говоря от единичной.
1.50. R = а2/2 + аЪ-Ъ3/3.
1.52. /, I.
1.54.
dr _ г da _ dz_ dr_ _ г dd _ г sin d da Ar A-а A-z Ar A.ft Aa
1.55. Поскольку градиент содержит первые производные по координатам,
можно записать
grad(?_l) = ?5fcl>+(p ^)gr,di
Используя результаты задач (1.52), (1.53), получим окончательно
(р • г) 3(р • г)г р
grad ¦
у,3 ^5 ^3 '
1.56. Направляем полярную ось вдоль вектора р и проецируем вектор Е на
орты сферических координат:
94
Глава 1
Векторные линии в сферических координатах определяются из системы
уравнений
dr _ г d'd _ г sin 'д da
Ejrp I'{j 7/q;
Обращение в нуль компонента Еа означает, что должен обратиться в нуль и
дифференциал da = 0, т. е. а = const и, таким образом, все векторные
линии лежат в плоскостях, проходящих через вектор р. Подставляя ненулевые
проекции Е в оставшееся единственное уравнение и сокращая общие
множители, получаем дифференциальное уравнение первого порядка с
разделяющимися переменными: dr/г = 2 cot tid'd. Почленное интегрирование
правой и левой частей дает In г - In г о = 2 In sin $ или г($) = г о sin2
$, где го - постоянная интегрирования, имеющая смысл расстояния от
векторной линии до начала координат в плоскости д = тг/2.
1.57.
у/2 \ дг г д$ г sin $ да
Y7 _ "а д sin д д V о - cos т/ -- -
дг г дд
1.59. 3, 0, 0, 2а;.
1.60. Н =
1.63. (р'г/г, 3ср + гср', 0, Icp + г(1 • r)ip'/r.
1.64. if (г) = const/г3.
1.65. (а • Ь), а х Ь; 4 (а • г), а х г; 0, (2<^ + гср')а - г (а •
г)ср'/г; -2(а • г), 3(г х а).
1.66.
Д+(г-А')?, (Д'-В + Д-.В')?> ^(г-Д) + ?(г-Д'), ^(rx4) + J(rx4 ЬГ(^ + ^).
1.68.
У (grad • rot j4) dV = j) (A x grad <уз) • dS = j) ip rot A ¦ dS.
1.4. Ответы и решения
95
1.69. aV, aV.
1.70. Использовав метод скалярного умножения постоянного вектора на
каждый из рассматриваемых интегралов, находим следующие соотношения:
j)ncpdS = J grad cpdV, (1.272)
s v
j)(n x A) dS = J rot AdV + J A(V -b) dV,
S V V
<j>(n ¦ b)AdS = J(b • V)AdV,
S V
jTa0nsdS = J ^-dV.
(1.273)
(1.274)
(1.275)
Все эти соотношения можно рассматривать как обобщенную теорему
Остроградского - Гаусса:
j>n{...)dS = Jy(...)dV, (1.276)
s V
где символом (...) обозначен тензор любого ранга.
1.76. f (Vu х V/) • dS.
s
1.81. По общему правилу (1.105) ковариантная дивергенция выразится
через
- 1 г.дА ddfiX
т. e.
dqx J 2 dq* '
ДЦ _ 8AM I 1 n\ А да /.4
A-'"-dq"+ 29 dqa ()
Рассмотрим теперь определитель g = \g^v\. Его дифференциал равен сумме
дифференциалов всех его элементов, умноженных на соответствующие
алгебраические дополнения: dg = D^v dg^, где D^v = (-1)^+гУД^, -
96
Глава 1
минор. С другой стороны, алгебраические дополнения выражаются через
компоненты обратного тензора, т. е. g^v: D^v = gg^v (см. задачу 1.27). В
итоге имеем
dg = ggta/dg^, =
dq д dq
Подставив последнюю величину в (1), находим выражение, приведенное в
условии задачи.
1.82.
(1-277)
1.83. (у/дТ^) + Г*ХТ*\
1.86. д^.х=д^.х = 0.
1.90.
(АА)Г = ААГ-^-^^, rz rz da
(AA)a = AAa-^f + \^, (L278)
г г аа
(AA)Z = А Ая.
1.91.
(АА)Г = ААГ - 4 А - - - (А>sin ^) - 2
^ А-г^у ОХ±± L/ J ^ ^
г sin $ 9$ г sin д да
(АА)* = АЛ* - + 4^~2 ' (L279)
г sin v г от; г sin V да /л л\ _ д /1 , 2 дАг | 2cos$
а о . о п 2 - ап 9-2 по
г sm I/ г sin г/ да г sm т) да
1.4. Ответы и решения
97
1.92. а)А-\-В\пг; 6)А-\-Ва; в)A + Bz.
1.93. a)A + B/r; б)А + В lntg($/2); в) А +
1.94.
ж = ±
У = ±
(С + а2)(г, + а2)(С + а2)^
1/2
(62 - а2)(с2 - а2)
(?, + Ь2)(г] + Ь2)(( + Ь2)~*1/2
(с2 - 62)(а2 - Ь2)
(? + С2)(г] + с2)(( + с2) (а2 - с2)(62 - с2)
1/2
,, \/(?-"?)(?-О л/("7 - С)("7 - €) ,, \/(С-0(С-"?)
= ------FTn-------> 2 = ---------------> П3 = -
2 Щ
А =
2RV
(1-0 *4(л4
2ЛС
+ (C-0^K?
1 drj
где = д/(г/ + а2)(г/ + Ъ2)(и + с2). Из формул для х, у, z видно, что
каждой тройке значений ?, ?7, ? соответствуют восемь троек ж, у, г.
