Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
большом расстоянии от источника, превышающем как размеры источника (г Z),
так и длину излучаемой волны (г А, волновая зона). Структура поля в
волновой зоне упрощается и становится похожей на поле плоской волны с
характерными соотношениями (2.122) между векторами Е и Н:
Н = пхЕ, Е = Нхп, Е = Н, (5.18)
причем в данном случае п = г/г, если источник излучаемых волн находится
вблизи начала координат. Справедливость соотношений (5.18) в волновой
зоне будет подтверждена ниже прямым расчетом.
Энергия dl/dfl, излучаемая в направлении п в единицу телесного угла
(дифференциальная интенсивность излучения) выразится через вектор Пой-
нтинга 7 в виде
f=7. "г* = ?">,*). (5.19)
Суммарная по всем направлениям (полная) интенсивность излучения
получается интегрированием (5.19) по телесному углу:
I(r, t) = ^ J H2(r, t)<Kl = ^ J E2(r, t)<Kl. (5.20)
Зависимость I от г связана только с эффектом запаздывания, и через любую
сферу с центром в источнике излучения в конечном счете пройдет вся
излученная им энергия.
Спектральный состав излучения. Если движение частиц периодично, то
средняя за период интенсивность излучения в данном направ-
__ т
лении dl/dQ. = (1/Т) J(dI/dQ.)dt при подстановке в (5.19) разложения
о
Фурье магнитного поля примет вид
ш = -ёг1Щг',>-Щг',>л = € ? |"(tm)М12 =
q т= - оо
оо
- Ъ ? '"-М'2
т=1
5.1. Функция Грина и запаздывающие потенциалы
443
(нулевая гармоника поля излучения отсутствует, Н-т = Н*т). Из струк-туры
полученного выражения следует, что отдельные слагаемые можно
интерпретировать как дифференциальные интенсивности излучения на
соответствующих частотах иош = ти, т = 1,2,...:
ж = <5-21)
Если движение частиц апериодично и излучение продолжается конечное время,
выключаясь при t -> ±оо, то спектр излучения оказывается непрерывным.
Полная энергия d$rad/dQ,, излученная в заданном направлении п, выразится
интегралом
оо
d§rad = [ dI(t) , dtl J dtl '
- ОО
Разложим поле излучения в интеграл Фурье и воспользуемся снова формулой
(5.19). Находим
оо оо
^ = ij *(r,i).H(r,o<tt = f? / имг)|^ =
- ОО -ОО
ОО
= ё/|н"'(г>|3^-
о
Величину
ЖГШ = ё1Н"(г)12' <5-22)
не зависящую от г в волновой зоне, можно интерпретировать как энергию,
излучаемую за все время процесса в данном направлении на частоте и (в
расчете на единицу телесного угла и на единичный интервал частот).
Формулы (5.21) и (5.22) похожи, но числовые коэффициенты и размерности их
различны.
Рекомендуемая литература: [Колоколов и др. (2000)], [Джексон (1975)],
[Иваненко и Соколов (1951)], [Бредов и др. (1985)], [Гальцов и др.
(1991)], [Ландау и Лифшиц, Теория поля], [Соколов и Тернов (1983)].
444
Глава 5
Задачи
5.1. Показать, что запаздывающие потенциалы (5.10), (5.11) удовлетворяют
условию Лоренца (5.3).
5.2*. Опережающей функцией Грина GA(R, г) называется решение уравнения
(5.5), которое удовлетворяет условию GA(R, т) = 0 при г > 0. Указать
форму контура интегрирования в плоскости комплексной частоты со,
приводящее к этому условию, и построить в явном виде опережающую функцию
Грина GA(R, г).
5.3. Показать, что запаздывающую (5.9) и опережающую (см. предыдущую
задачу) функции Грина можно записать в лоренц-инвариантной форме Gr,a(R,
г) = 2cQ(±r)5(XiX'1), где Хг = (ст, R), 0 - ступенчатая функция (1.212).
УКАЗАНИЕ. Использовать свойство дельта-функции (1.209).
5.4. Показать, что фурье-образы запаздывающей и опережающей функций
Грина можно записать в форме
GR'A{k, ш) = -4тг-^- ± Ш2€{к°)6(кг^), к^ к
где е(х) = в(х) - в(-х) - знаковая функция, кг = (со/с, к).
УКАЗАНИЕ. Воспользоваться правилами (1.223) интегрирования сингулярных
выражений.
5.5. Записать компоненты Фурье A^(r), (p?}(r) опережающих потенциалов,
которые получаются по формуле (5.4) при подстановке в нее опережающей
функции Грина GA (см. задачу 5.2). Сравнить их с (5.12),(5.13). Какой
физический смысл можно приписать тем и другим?
5.6. Показать, что гармоники Фурье G^jA(R) запаздывающей и опережающей
функций Грина удовлетворяют уравнению
(1) [Нш ± iu}0)G$A(R) = -4тг<5(Я),
где оператор
Ню = А + (w/c)2
действует на координаты R. Бесконечно малая мнимая добавка ±ico0 дает
правила обхода полюсов в плоскости комплексного со.
5.1. Функция Грина и запаздывающие потенциалы
445
УКАЗАНИЕ. Перейти в уравнении (1) к разложению Фурье по координатам и
сравнить результат с полученными ранее фурье-образами (см. формулу (5.6)
и задачу 5.2). Учесть правила обхода полюсов, изображенные на рис. 5.1 и
5.3.
5.7*. Показать, что решение уравнения (1) предыдущей задачи можно
записать в виде
и начальному условию 0) = 5(H), где t = т/ио играет роль време-
ни.
5.8*. Вычислить функцию ipR,A(R, г), определенную в предыдущей задаче.
5.9. Определим функции G±(R1 т) следующими равенствами:
Найти их фурье-образы и указать дифференциальные уравнения, которым
удовлетворяют эти функции.
5.10. Записать уравнения, которым удовлетворяют электромагнитные
потенциалы cp(r, t) и A(r, t), если вместо условия Лоренца (5.3) на них
