Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Батыгин В.В. -> "Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория" -> 129

Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.

Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория: Учебное пособие — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 736 c.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка): sovremennayaelektrodinamikat12002.pdf
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 225 >> Следующая

формулам теории поля как интеграл по всему трехмерному пространству,
совпадает с энергией квантовой частицы.
4.124.
Vip-
Уравнение (4.101) получается из приведенного лагранжиана по алгоритму
(4.95):
д% d д% d д%
дф* dt дф*г dxa дф^
= 0.
4.125.
(1)
2 2
г-, mzcz п
Utp---------= о
(уравнение Клейна-Гордона-Фока). Записав решение в виде плоской волны с
инвариантной фазой, (р = Aexp(iklxi), где A = const, к1 = (и/с, к),
получим из уравнения Клейна-Гордона-Фока дисперсионное соотношение
(2)
^ = к2 с1
т2с2
П2
422
Глава 4
Если согласно де-Бройлю интерпретировать произведения Ни и Нк как энергию
ё и импульс р частицы, то приходим к релятивистскому соотношению между
энергией и импульсом
(3) i2 = c2p2+m2c4.
Поскольку волновая функция ср(хк) однокомпонентна и является скаляром,
зависящим только от пространственных 4-координат, она может описывать
только частицы без внутренних степеней свободы, т. е. частицы с нулевым
спином.
4.126. Из приведенного лагранжиана с помощью (4.95) получаем
уравнение движения
(1) Пер + fi2(p - Хер3 = 0.
При малых ср ив пренебрежении нелинейным членом вместо дисперсионного
соотношения (2) предыдущей задачи получим
(2) = V + к2
С
и при к2 < fi2 будем иметь чисто мнимые частоты со = гсд/ji2 - к2. Это
означает, что решения ср ос ехр(±д/fi2 - k2ct со знаком плюс будут
нарастать экспоненциально. Но рост не может быть безграничным, так как
нелинейное слагаемое ограничивает амплитуду ip.
Найдем значение ср = ср0, при котором У(ф) имеет минимум. Из условия
dV/d(p2 = 0 находим ср0 = i/i/л/Х Из физических соображений можно
ожидать, что поле ср дорастет до значения ср0 и затем будет колебаться
около указанного значения, причем колебаниям поля будут соответствовать
кванты - частицы с некоторой действительной и положительной массой.
Для проверки этой гипотезы делаем подстановку ср(х) = ср0 + г](х), \rj\
<С \<р0\ в лагранжиан и оставляем члены не выше второго порядка:
% = \ (^vdkv) ~ V2V2 ~ •
Постоянное слагаемое может быть опущено. Член, содержащий квадрат массы,
имеет теперь правильный знак. Сравнивая его с соответствующим слагаемым в
уравнении (1) предыдущей задачи, находим массу квантов, соответствующих
возбуждениям 77: тv = у/2fiH/c. В результате мы приходим к следующей
физической картине: указанному в условии задачи потенциалу V((р)
соответствуют два низших энергетических состояния (вакуумных
4.4. Ответы и решения
423
решения) с отличными от нуля значениями поля ср0 = dz/i/л/Х. На этом фоне
возможны возбужденные состояния, в которых имеется некоторое число
квантов - частиц с массой тv и обычной для релятивистских частиц связью
между энергией и импульсом
8 = р = Нк, 8 = huj.
Волновые функции частиц при низких уровнях возбуждений поля могут
представлять собой суперпозиции плоских волн с и = 8/Н, к = p/h.
4.128. Имеется всего один скалярный параметр преобразования а. При малом
а имеем ф' = ф + гаф, х,к = хк, поэтому в общих формулах (4.115) следует
положить Гк = 0, Gga = г, ^Ла = а. Обобщенный ток представляет собой 4-
вектор: Jk = jk, причем, согласно (4.119),
(1) (2)
Величина p(r, t) = j°/ch = \ф\2 неотрицательна, может быть нормирована на
единицу (для состояний финитного движения, когда частица все время
находится в конечной области пространства) и интерпретируется в квантовой
механике как плотность вероятности. 3-вектор j/h представляет собой
плотность потока вероятности. Уравнение неразрывности (4.120) приводит к
сохранению полной вероятности во времени: f p(r, t) d3x = const. Возможна
и другая, более адекватная интерпретация рассматриваемого закона
сохранения для заряженных частиц. Домножая равенства (1), (2) на заряд
частицы е, получим плотность электрического заряда ер = ре и плотность
электрического тока ej/h = je, создаваемые в обычном 3-мерном
пространстве в результате движения частицы по законам квантовой механики.
В такой интерпретации нетеровский ток, связянный с фазовым
преобразованием волновой функции заряженной частицы, представляет собой
четырехмерную плотность электрического тока.
424
Глава 4
Интерпретация величины р как плотности вероятности невозможна, так как р
может иметь оба знака. Но произведение ер = ре можно рассматривать как
плотность электрического заряда, если ip описывает такое поле, квантами
которого являются частицы и античастицы, имеющие заряды разных знаков.
Релятивистские волновые уравнения и вытекающие из них следствия тесно
связаны с понятием античастиц. Об интерпретации уравнения Клейна-Гордона-
Фока подробнее см. [Бьеркен и Дрелл (1978), Берестецкий и др. (1989)]
4.130. з = ^{ФЩ* - Ф*^Ф) - щ-сЛф*ф, р = ф*ф.
4.131. Для того, чтобы наблюдаемые величины р и j не изменились при
калибровочном преобразовании потенциалов
(1) А = А - Vf(r, t), (р = у + д^, нужно преобразовать фазу волновой
функции:
(2) ф = $exp(j^f(r, ?)).
Преобразование (1)-(2) отличается от преобразования фазы с а = = const,
рассмотренного в задачах 4.128-4.130, своим локальным характером: фазовый
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 225 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed