Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
"('•"J-pnSy?- <5'6>
Оно является формальным потому, что имеет сингулярность при и2 = со2/с2 и
требует дополнительной информации для выполнения обратного преобразования
Фурье, т. е. задания правила интегрирования сингулярной функции. Кроме
того, решение (5.6) не является общим: в нем пропущено решение
однородного волнового уравнения, имеющее вид F(k, со)5(к2 - со2/с2), где
функция F должна быть ограниченной при L02 = к2С2. Указанная функция
5.1. Функция Грина и запаздывающие потенциалы
439
является решением однородного волнового уравнения в силу равенства типа
хд(х) = 0. Таким образом, наиболее общий вид фурье-образа функции Грина
следующий:
W) = ,2 4?Г2 / 2 + F(fe' W)^2 - WVc2), (5.7)
гь оо / с
из которого в зависимости от правила интегрирования сингулярной дроби и
вида функции F получаются разные функции Грина (см. пример 5.3 и задачи
5.2-5.4). ¦
Пример 5.3. Запаздывающей функцией Грина Gr(R,t) волнового уравнения
называется решение уравнения (5.5), удовлетворяющее условию
Gr(R,t) = 0 при т < 0. (5.8)
Указать правило обхода полюсов при вычислении интеграла Фурье по частоте,
приводящее к выполнению указанного условия, и вычислить Gr(R, г).
Решение. Решение однородного уравнения представляет собой набор плоских
монохроматических волн и не может удовлетворять условию (5.8). Поэтому
полагаем в (5.7) F = 0 и при интегрировании по duo деформируем путь
интегрирования в комплексной плоскости, обходя полюсы подинте-грального
выражения со = ±сок = =bcfc сверху (рис. 5.1). При г > 0 замыкаем путь
интегрирования дугой большого радиуса в нижней полуплоскости, на которой
подынтегральное выражение экспоненциально мало, и получаем сумму вычетов
относительно двух полюсов:
оо
GR(k, т) = J G(k, со) ехр(-icor) =
- оо
47гс2 sin(сокт)
=-------Щ-------.
При г < 0 замыкаем контур интегрирования дугой большого радиуса в верхней
полуплоскости и получаем нуль ввиду отсутствия полюсов внутри контура:
G(fc, г) = 0 при г < 0.
Рис. 5.1
440
Глава 5
При интегрировании по волновым векторам используем сферические координаты
с полярной осью вдоль R. Представив d3k = к2 dk dVtk, вычисляем интеграл
7Г
/ exp(ifc • R) dQfc = 2п J ex.p(ikR cos$) sin tid'd = ^sin(fci2). о
В итоге будем иметь
оо
Gr(R, г) = J ^ ^ GR(k, т) - J sm(kR)sm(kcr) dk.
о
Представив произведение синусов в виде разности косинусов, и
воспользовавшись представлением (1.219) дельта-функции, получим
окончательно
Сй(Д,т) = -^(т-§). (5.9)
Условие (5.8) обеспечено аргументом дельта-функции. Решение (5.9)
представляет собой бесконечно тонкий сферический волновой пакет,
испущенный в момент tf из точки R = 0 и распространяющийся со скоростью
с. ¦ Другие функции Грина, также удовлетворяющие уравнению (5.5), см. в
задачах 5.2-5.9.
Запаздывающие потенциалы. Запаздывающая функция Грина играет важную роль
в классической электродинамике, так как она обеспечивает принцип
причинности: причина (движение зарядов в источнике) должна предшествовать
следствию (изменению поля в точке наблюдения). С помощью (5.4) и (5.9)
находим запаздывающие потенциалы:
A{r,t) = U!^±zpl?>dv', (510)
J \r-r\
y(r.t)= /'Kr'',-|r~r,|/CV. (5.11)
J \r-r'\
Временной аргумент распределения зарядов и токов показывает, что поле в
точке г в момент t определяется значениями величин j и р в точке г' в
предшествующий момент tr = t - R/с. Электромагнитные возмущения в вакууме
распространяются со скоростью с.
Пример 5.4. Записать фуръе-образы разложения запаздывающих потенциалов
AR(r), и напряженностей электромагнитного поля на
монохроматические компоненты.
5.1. Функция Грина и запаздывающие потенциалы
441
Решение. При апериодическом движении частиц имеем по определению
компонент Фурье (см. формулу (1.250))
оо оо
A"(r) = / А^гЛУ^Л = 11 "-му1 dy j HS.r^dT,
- оо -оо
(5.12')
где т = t - \г - г'\/с, или в окончательной форме
р . 1 С ex.p(iuj\r - г'\/с) , /ч ,
\ J |r_r'| ico(r')dV' (5.12)
и, аналогично,
о, ч f ex.p(iuj\r - r'\/c) , /ч ,
^("-) = J |r_r'| Рш(г ) dV. (5.13)
Множитель
G*{R) = |ехр(го;Д/с) (5.14)
под интегралами (5.12) и (5.13) представляет собой гармонику Фурье
запаздывающей функции Грина. Напряженности поля выразятся в виде
Hw(f) = Vx^(r), Еш = -^А*{г)-Ч<р%{г). (5.15)
Если движение частиц периодично с периодом Т = 2тт/ио,то потенциалы и
напряженности поля можно разложить в ряды Фурье. Удобно разложение по
экспонентам с мнимыми показателями типа (1.245). Разложение будет
содержать частоты иош = moo, m = 0, ±1, ±2, ...:
Ag(r) = i
(5.16)
У"=/е:ф( 7;lr;lr'l/c)^(^)^-,
T
где jm = (1 /Т) f j(r', t)elUJrntdt и аналогично для pm. Напряженности
о
поля примут вид
Hm(r) = V х а?(г), = -^А?(г) - V^(r). (5.17)
442
Глава 5
Излучение электромагнитных волн системой заряженных частиц в свободном
пространстве - это процесс, при котором электромагнитное поле отрывается
от источника и распространяется в виде волн на произвольные расстояния.
Поэтому для расчета процесса излучения необходимо исследовать поле на
