Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
преобразования Лоренца 50,ц = - 50,ц, введенной при решении задачи 4.20.
Индекс а, входящий в общее выражение (4.119), будет представлять собой
совокупность двух векторных индексов, а = (г, I). Имеем
(4) \та0 = \та о = \
Js
<f oa!i dSp =
V
(1) xn =xl + 5QliX\ Sxl = <mV = rljSQ^/2, = 8\х, - 5ljX%.
(Удобно с самого начала ввести множитель 1/2, т. е. выбрать 6Х = S ft/2,
чтобы получить согласие с известным из механики определением момента).
428
Глава 4
Из (4.119) с помощью выражений (1) получаем плотность нетеровского
тока
(?) Тк - Тк т - Тк т - СА пв
\ ) и тпп - и mJjn nJjm л ^Bmnd •
dqA,k
Здесь Jki - канонический тензор энергии-импульса (4.124), а вид матрицы
Ggmri определяется природой полевых функций qA.
а) Пусть qA = ф - скалярная комплексная волновая функция
нерелятивистской бесспиновой частицы, удовлетворяющая уравнению
Шредингера. С помощью (4.100) и (4.124) находим
/о\ то д!? а д!? ,* , д!? , ihc( ,* , \
[ ) "= = щь- = ~
Скаляр не изменяется при пространственных поворотах, поэтому G^mn = = 0.
Пользуясь (1) и (2), находим
(4) \ J J°a0 <Px=±J (J°"x0 - JV") d3x =
= ih Jф*(х0ф,а -хаф^)(13х = J ф*[г x р]а0ф d3x = J0a,
где r = (-x\, - X2, - xs), p = (-ihdi, -ihd2, -ihd3). Таким образом,
после интегрирования компонент 7°а/з/с по 3-пространству мы получили
среднее квантовомеханическое значение орбитального момента частицы 7,
выраженное через компоненты дуального 3-тензора (112 -> 1з и т. д.).
Обращаем внимание на изменение порядка индексов а, (3 в правой и левой
частях предыдущей цепочки равенств. В общем случае рассмотренное
выражение при G^mn = 0 можно представить в виде
(5) = J (xpdPa xadPp),
где dPa = J°ad3x/c - импульс поля, приходящийся на элемент объема d3x.
Ввиду явного сходства с моментом импульса сплошной среды в механике эту
величину называют орбитальным моментом поля. Для скалярного поля он
является интегралом движения.
б) Пусть нерелятивистская частица имеет спин 1/2. Ее волновая функция
Ф(ж, ?) = ф(х)х(0 представляет собой произведение скаляра ф на спинор х -
двухкомпонентную величину. При повороте на малый угол Sep
4.4. Ответы и решения
429
вокруг направления п в 3-пространстве спинор преобразуется по закону
[Ландау и Лифшиц, Квантовая механика]
(6) х' = (1 + гп- a6tp/2)x,
где а - вектор, компонентами которого выступают спиновые матрицы Паули.
Из сравнения (6) с (1) находим вид матрицы G:
(7) G = (г/2)п • Э.
Вычисляя последнее слагаемое в (2) и интегрируя его затем по 3-
пространству, получаем добавочный член к орбитальному моменту (4) -
спиновый момент:
(8) Sn = (х, \п • ?х) J \ф(х)\2 d3x = |(х, п ¦ ах).
Здесь получено среднее квантовомеханическое значение проекции спинового
момента на направление п. Интеграл от квадрата модуля координатной
волновой функции дает единицу в силу условия нормировки.
В общем случае спин поля описывается выражением
(9) Saf3 = - f GAB(3aQB•
J oq ?о
Сохраняющейся величиной в общем случае выступает полный момент Jqj/з =
Laf3 -Ь Sap.
4.139. Преобразование координат описывается формулами (1) из решения
предыдущей задачи. В качестве полевых функций в электродинамике выступают
компоненты 4-потенциала qA(x) = А1(х). При малом повороте четырехмерной
системы координат меняется аргумент 4-потенциала и его проекции на
координатные оси. Изменение аргумента означает сдвиг в пространстве,
который ввиду однородности 4-пространства не приводит к изменению полевых
функций (ср. с рассмотрением сдвига в задаче 4.132). Изменение проекций
4-потенциала подчиняется тому же закону, что и преобразование любого 4-
вектора, например, радиуса-вектора, т. е.
(1) Ап = А1 + 5П1^ = Al + (5ltAj - 5\Аг) 8№/2.
Таким образом, в данном случае во втором слагаемом формулы (2) из решения
предыдущей задачи нужно сделать замену
(2)
GBa4B(x) -> 5\Aj{x) - SljAi(x),
430
Глава 4
а вычисление производной д!?/дА1 к было проделано в примере 4.21. В
результате находим обобщенный нетеровский ток, который в данном случае
является тензором III ранга, антисимметричным по двум нижним значкам г,
j:
(3) Jkij = Jki%j Jkj%i Н- ~^.(EkiAj FkjAi).
Хотя полученный тензор в силу теоремы Нетер удовлетворяет
дифференциальному закону сохранения дк Jkij = 0 (в этом легко убедиться и
непосредственно), ему присущи два крупных недостатка: он не обладает
калибровочной инвариантностью и не имеет структуры механического момента
(т. е. векторного произведения радиуса-вектора на импульс). Это наводит
на мысль сконструировать тензор плотности момента на основе ка-либровочно
инвариантного и симметричного тензора энергии-импульса (см. (4.126)):
(4) Mfaj = TkiXj TkjXi.
Вычислим дивергенцию этого тензора:
дк Mkij = Тл - Тц + XjdkTki - XidkTkj = 0.
Полученный результат связан с симметрией (Tji = Т^) и дифференциальным
законом сохранения (дкТы = 0) тензора энергии-импульса. Таким образом,
тензор Мщ, как и Jkij, удовлетворяет уравнению неразрывности (4.116),
вытекающему из теоремы Нетер, и, следовательно, указанные два тензора
