Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
точечного магнитного заряда. При г -> 0 это поле имеет такую же
особенность, как и поле точечного электрического заряда. Но потенциал
Дирака имеет особенность также при $ -> 7г (г -> z), т. е. на всей
отрицательной полуоси 0 > z > -оо. На этой особенности дифференциальное
выражение rot А не определено.
Рис. 4.18 6
Чтобы найти поле на этой сингулярной дираковской "нити", подсчитаем его
поток через круг малого радиуса s ^ О, плоскость которого перпендикулярна
оси Oz, а центр лежит на оси:
j H-dS = j) A-dl= |
Конечное значение магнитного потока через бесконечно малую площадку
свидетельствует о сингулярности магнитного поля на отрицательной полуоси
Oz:
4жд5(х)6(у), z < 0;
Н*~< 0 z > 0.
Полный магнитный поток через замкнутую поверхность, окружающую начало
координат, равен нулю, так как поток нити направлен противоположно потоку
точечного заряда.
418
Глава 4
Таким образом, кроме точечного магнитного заряда потенциал Дирака
описывает сингулярную "нить". Чтобы сделать ее ненаблюдаемой, Дирак
накладывает на волновые функции частиц требование ф = 0 на сингулярной
нити. Этот запрет выглядит искусственным и, по-видимому, не обеспечивает
ненаблюдаемости нитей. Обсуждение проблемы магнитного монополя в рамках
традиционной электродинамики и квантовой механики, а также оригинальные
статьи Дирака читатель может найти в сборнике [Монополь Дирака (1970)].
Дальнейшие исследования, основанные на свойствах калибровочных полей
Янга-Миллса, см. в [Соколов и др. (1986)], [Рубаков (1999)], [Гальцов и
др. (1991)].
Однако, существует простая макроскопическоя модель дираковского монополя
с сингулярной нитью. Торец длинного тонкого соленоида создает магнитное
поле, близкое полю монополя, на расстояниях, больших по сравнению с
диаметром соленоида, но малых по сравнению с его длиной.
4.117. Уравнение движения:
Закон движения нерелятивистской частицы в сферических координатах (г, $,
ip) с полярной осью, направленной вдоль J:
где 7га = pqat. Указанному в условии задачи уравнению движения
соответствуют различные лагранжианы, отличающиеся преобразованием (4.94).
Приведенные в ответе выражения выбраны так, что гамильтониан имеет смысл
плотности энергии деформированного упругого тела.
(1)
сг
Интегралы движения:
(2) с2р2 + т2с4 = 82 = const, [г х р] - = J = const.
г2 =r2+v2(t-t0)2,
(3)
= const.
4.118.
4.4. Ответы и решения
419
4.119. S - Sg + Sm + Sintj
где
S - 1
^ " 87rcG
q
- действие для гравитационного поля, G = 6,67 х 10-8 см3/ г • с -
гравитационная постоянная,
TV
Г-
Sm, -
Ь= 1
t
- действие для свободных частиц,
n t2
J(Vip)2 dAx
Sint = / mb(fi(rb, t)dt= / ptpdix
ь=Чг a
- член взаимодействия, p(r, t) = nii/Hr - rijt)) - плотность массы
точечных частиц, записанная через дельта-функцию.
Уравнение для потенциала получается варьированием величины Sg + + Sint по
ср при фиксированных координатах частиц га и дает
Аср = 4irGp(r, t)\
уравнения движения частиц выводятся путем варьирования радиусов-век-
торов гъ В Sint + sm: "
Га = -Vcp{ra, t).
В случае точечных частиц последнее уравнение некорректно, так как
потенциал в правой части содержит бесконечный член самодействия (вида -
Gma/\ra - га|). Правильное уравнение движения а-й частицы под действием
всех остальных получится, если из полного потенциала ср исключить
потенциал, создаваемый а-й частицей:
Га = -V<p'(ra, t),
где
i( ,\ / Grrib
штрих у суммы означает отсутствие члена с b = а. Отметим, что в уравнение
движения не вошла масса частицы. Это означает, что все тела любой массы и
природы движутся в заданном гравитационном поле совершенно одинаково.
420
Глава 4
4.120. S - Sf -Ь Spart -Ь Sint, где
^ = sb/<vrf2A
n
- действие для электрического поля, ip(r, t) - электростатический
потенциал;
Spart -
N
Е / ?(^)2
ь=\1
dt
- действие для свободных частиц;
Sint = - У I ehtp(rh, t)dt = - ± I pcpd^x Lti n
взаимодействие заряженных частиц и поля; еъ - заряд частицы,
N
P{ri t) = J2eaS(r-ra(t))
а=1
- объемная плотность электрического заряда.
Уравнения для поля и частиц:
Ар = -4ттр, mara = -eaVp'.
В последнем уравнении из правой части следует исключить расходящийся
вклад в потенциал а-й частицы, описывающий эффект самодействия.
4.121.
S =
/
(rot А) Sire
\а ¦ j
CZ
d43
где A(r) - векторный потенциал, определяющий напряженность магнитного
поля.
4.122.
- уравнение Шредингера для волновой функции нерелятивистской частицы
в потенциальном поле U(r, t).
4.4. Ответы и решения
421
4.123.
Ж =
д5?
<H>,t
ъ+^;*-я = ^т*+и\Фг-
2т
Полная энергия поля:
Н= / Жйгх =
-|-v2 + t/
2т
)**"
последнее выражение получено путем интегрирования по частям в
предположении ф -> 0 при г -> оо. Оно совпадает с квантовомеханическим
средним значением энергии частицы. Если потенциальная энергия U(r) не
зависит от времени и частица находится в состоянии с определенной
._. .___________. j- 2
энергией, т.е. Нф = Еф, где Н = - --V2 + U - квантовомеханический
оператор Гамильтона, то Н = Е. Это означает, что энергия, вычисленная по
