Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Батыгин В.В. -> "Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория" -> 132

Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.

Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория: Учебное пособие — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 736 c.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка): sovremennayaelektrodinamikat12002.pdf
Предыдущая << 1 .. 126 127 128 129 130 131 < 132 > 133 134 135 136 137 138 .. 225 >> Следующая

должны отличаться дивергенцией некоторого антисимметричного тензора IV
ранга. Убедимся в этом:
Mkij Jkij =
= ixj-FkiF jXi)-Fki(A^Xj - A^Xi) - - (FkiAj - FkjAi) =
^Fki(AiXj AjXi)
Таким образом, оба тензора плотности момента, Мщ и Jkij, совместимы с
теоремой Нетер и приводят к одинаковым интегральным сохраняющимся
величинам - компонентам антисимметричного тензора II ранга момента
импульса:
- ^Fki (А\ Xj A- Xi) + ^ (Fkj Ai Fki Aj) - d
(5)
Mij = \ / M0ji d3x = \ / J0ji d3x
4.4. Ответы и решения
431
(в правой части порядок индексов обратный). Но тензор M^j приводит к
более симметричным и наглядным выражениям:
(6) Мц = i J(xiT0j - XjT0i) d3x = J(хг dPj - Xj dPi),
где dPi = Toid3x/c - импульс поля, заключенный в трехмерном объеме d3x.
Пространственная часть тензора образует трехмерный антисимметричный
тензор II ранга, дуальный псевдовектору углового момента поля М:
(7) М = J г х gd3x,
где
сда = Т0а = -Т0а, д = Л-ЕхН.
4.140. Mkji = XiTkj - XjTki, где Ты = + T^rt - полный
тензор энергии-импульса, определенный
в примере 4.22. Для пространственных компонент Ма/з = (1/с) f Моа/з d3x
момента импульса системы находим
(1) М = г х д d3x + ^ г х ра = const.
а
Для интерпретации смешанных компонент Моа введем время t, общее для всех
частиц. Тогда из теоремы Нетер следует сохранение величин
(2) М0а = ct(Ga + Ра) - \ | J XaW d3x + ^2 ха@а j = Const,
где GnP - полные импульсы поля и частиц соответственно, w - плотность
энергии электромагнитного поля. Введем в рассмотрение точку в 3-
пространстве с радиусом-вектором
ту = frwd3x + Ea Гд?д
{) fv><Px + Zaga •
Постоянство компонент Моа означает, что эта точка движется по закону R =
Rq + Vt со скоростью
c2(P-\-G) С
(4) V=e---------Г~ё-----> где $ field. = wd3X, Spart = У <fg,
& field + bpart J
432
Глава 4
которая в силу сохранения полного импульса и полной энергии системы
постоянна. Полученные соотношения представляют собой обобщение теоремы
механики о равномерном движении центра масс замкнутой системы на случай
релятивистских объектов.
4.141. Функция Лагранжа имеет вид
где A(r) = Н х г/2 - векторный потенциал. Ввиду отсутствия явной
зависимости функции Лагранжа от времени сохраняется энергия частицы
Ввиду инвариантности функции Лагранжа относительно поворотов вокруг
направления Н || Oz сохраняется также канонический импульс
соответствующий повороту вокруг оси Oz.
Вывод закона сохранения, связанного с пространственным сдвигом, требует
большей аккуратности, так как функция Лагранжа не инвариантна
относительно сдвига. Вычисляя изменение функции Лагранжа при замене г на
г + 5г, находим из (1)
т. е. вариация выражается через полную производную по времени от
некоторой функции координат. С другой стороны, из уравнения Лагранжа
получаем
где Р = mv + (е/2с)Н х г - канонический импульс, сопряженный радиусу-
вектору, который не сохраняется. Подставляя (5) в (4), находим
сохраняющийся обобщенный импульс
(1)
(2)
g = v.^L_L = m^_
ov 2
(з)
Ра = Г X ¦ = т[г х v\z + ^[г X [Н х r]]z,
(4) SL = ^ -ёг = ?-\v х Н] -5г = 6г ¦ х Н,
к } дг 2с 1 dt2c
(5)
dL = d^dh = dP
дг dt dv dt
(6)
& = Р + ^-Н х г = mv - (-г х Н.
2 с с
4.4. Ответы и решения
433
Постоянство приведенной величины следует и непосредственно из уравнения
движения
(7) mv = |v х Н при Н = const.
Вычислим еще электромагнитный импульс, создаваемый кулоновским полем
частицы и внешним магнитным полем. Используя формулу (4.128), находим
(8) Pem = ^-Cj E(r, t)xHd3x=^-cJ AdwEd3x = ЦA(r0(t))•
Здесь Е = e(r - ro(t))/\ r - ro(t)\3, ro(t) - радиус-вектор частицы, div
Е = = 4:тге6(г - ro(t)). Преобразование интеграла произведено с помощью
формулы (1.89) для V(E • А) и уравнений rot Е = 0, div А = 0. Импульс
поля в конечном счете оказался локализованным в точке нахождения частицы.
Для момента полного импульса системы mv + регп, который складывается из
импульса частицы и импульса поля, находим
(9) L = r0 х (mv+pem),
куда вошел радиус-вектор ro(t) частицы. Проекция (9) на направление
магнитного поля сохраняется и совпадает с (3).
4.142. Импульс и энергию поля в объеме V в момент t = x°/с можно
выразить интегралами f Та0 dV и f Т00 dV соответственно, где
интегрирование производится по всему трехмерному пространству. Объединим
их и запишем в ковариантной форме, введя единичный 4-вектор щ = = (1, 0,
0, 0): / TkidSi9 где dS% = щ dV - элемент гиперповерхно-
E(t)
сти ?(?), определяемой условием t = х°/с = xq/c = const, т. е. это -
элемент трехмерного объема. Обобщим написанный интеграл и распространим
его на замкнутую гиперповерхность окружающую 4-объем Q:
(1) Ztot = Е(*) + E(t') +
Здесь Е' - боковая цилиндрическая гиперповерхность, образующие которой
параллельны оси времени х° (см. условный рис. 4.19).
Применим четырехмерную теорему Остроградского-Гаусса к интегралу по всей
гиперповерхности:
434
Глава 4
где dSi на боковой поверхности, конечно, имеет вид, отличный от щ dV.
Поскольку Q и dQ - инварианты, а дТкг/дхг - 4-вектор, то и интеграл в
Предыдущая << 1 .. 126 127 128 129 130 131 < 132 > 133 134 135 136 137 138 .. 225 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed