Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
разложен по 4-векторам, на которых она построена:
G^SAt+PBi + QCi,
где S', Р, Q - инварианты. Векторы Gi и Vг взаимно ортогональны, так как
GiV1 = 0.
4.12. На трехмерный тензор II ранга Т^и, (/i, v = 1, 2, 3), два
трехмерных вектора Т°м и Тм° и трехмерный скаляр Т00.
4.13. Любой антисимметричный 4-тензор II ранга включает в себя трехмерный
полярный вектор р и трехмерный аксиальный вектор а:
Ац^ -
0 Рх Ру Pz \
Рх 0 -az ау
-Ру CLZ 0
-Pz -dy &х 0 )
Но обратное утверждение неверно: далеко не любая совокупность трехмерных
вектора и псевдовектора образует 4-тензор II ранга.
4.16.
AV =
( 1 о о о \ о
о д V0 /
где матрица трехмерного поворота g(ai6ct2) определена в ответе задачи
1.20.
4.18. Искомую матрицу, хг = Кг^х,к, можно представить в виде произведения
А = А(0, Ф)А(У)А-1(0, Ф),
где А(0, Ф) - матрица пространственного поворота, переводящего ось Ох3 в
новое положение Ох'3, которое определяется сферическими углами 0, Ф в
старой системе; A(V) - буст вдоль новой оси Ох'3. Произведя поворот
4.4. Ответы и решения
371
по часовой стрелке на угол Ф вокруг оси Ох3 и на угол 0 вокруг новой оси
Ох/2, находим
Л(0,Ф) =
/10 о \
0 cos 0 cos Ф - sin Ф sin 0 cos Ф 0 cos 0 sin Ф cos Ф sin 0 sin Ф
\ 0 - sin 0 0 cos 0 /
Матрица буста вдоль оси Ох'3 получается из (4.2) перестановкой строк и
столбцов с номерами 1 и 3:
ЛСЮ =
/ chip 0 0 sh?/; \
0 10 0
0 0 10
\ sh?/; 0 0 ch ф )
Матрица Л х(0, Ф) получается транспонированием Л(0, Ф). После
перемножения матриц (что требует некоторой аккуратности) получим
A(V, 0, Ф) =
/ сЪ.ф sh фпх sh фпу
sh фпх 1-\-(сЪ.ф - 1 )n2 (сЪ.ф - 1)пхпу
sh фпг \ (ch ф - 1 )nxnz
sh фпу (сЪф - 1)пупх l + (ch^ - l)n2 (ch^ - l)nynz \sh фпг (сЪ.ф - l)nznx
(сЪ.ф - 1)пхПу 1 + (ch^ - l)n2/
где nx = sin 0 cos Ф, ny = sin 0 sin Ф, nz = cos 0 - проекции орта V/V на
пространственные оси исходной системы координат.
4.19. Запишем преобразование (4.7) для дифференциалов 4-координат:
(1) dx° = Л°0 dx'° + Л°р dx'P, dxa = Л% dx'° + Аар dx//3
Применим эти преобразования к началу отсчета О' пространственных
координат системы S'. При этом dx'@ = 0, a dxa/dx° = Va/c - скорость
системы S' относительно S. Из (1) получаем
(2)
Л% = Л°0 (V/c)na,
где па - проекции орта скорости на пространственные оси. Из равенства
(4.16), пользуясь тем, что п1?!1 + п2п2 + п3п3 = 1, находим
(3)
Л°0 = (1 - V2/c2) 1/2 =chф и Л"0 = na(V/c) сЪф.
372
Глава 4
Далее используем (4.10). Положив ш = 0,/ = а = 1,2,3,и учитывая (3),
имеем
(4) Л°а = ^ (п1А1а + п2Л2а + п3Л3а).
Для нахождения величин А^а примем во внимание, что эта матрица может
зависеть только от компонент вектора V = Vп. Поэтому ее общий вид
(5) А" а = А5" + Вп"па,
где А и В могут зависеть только от абсолютной величины V. Из (4) получаем
(6) Л0а = %(А + В)па.
Положив в (4.10) т = а, I = (3 и подставив в него (5) и (6), приходим к
равенству
(7) (^2/+ В)2папр - А25ар - (2АВ + В2)папр = -Sap-
В этом равенстве имеются слагаемые с тензором 5ар, инвариантные
относительно поворотов, и слагаемые с тензором папр, которые можно
обратить в нуль поворотом системы координат. Слагаемые обоих типов должны
компенсировать друг друга по отдельности, что позволяет найти А = 1 и В =
= ch ф - 1 (знаки выбраны так, чтобы преобразование Лоренца было
собственным). Легко видеть, что элементы матрицы преобразования (3), А°а
= = na(VУс) скф и А^а = 5^ + (ch^ - 1 )п^па, совпадают с теми, которые
получены в предыдущей задаче.
4.20. Инвариантность интервала приводит к условию gu5Qlk + + дыШ1г = 0
или, используя правило опускания индекса,
5Пгк = -5Пкг (4.135)
(антисимметрия). Это свойство сохраняется и при подъеме одного из
значков: 5Qlk = -SQk1- Таким образом, имеется всего 6 независимых
параметров преобразования, соответствующих комбинациям значков i, к =
0,1; 0, 2; 0, 3; 1, 2; 1, 3; 2, 3.
Величины 5Qao = 5Q°a = Va/c - малые углы псевдоповоротов в плоскостях (0,
а). Величины p = - малые углы обычных
поворотов в плоскостях (/3, а) от оси [3 к а.
4.4. Ответы и решения
373
4.21. = diA1 = inv - скаляр, 4-дивергенция; dkA1 - ковариантный тензор II
ранга; д{Ггк - ковариантный вектор.
4.22. Инвариантность оператора Даламбера становится очевидной из записи
его в тензорных обозначениях:
П = -с
: д д
дхг дхк
(4.136)
4.23. По аналогии с компонен-
~ дАа дАр
тами 3-ротора --------- четырех-
ОХ Я ОХ (х
мерный ротор следует определить как антисимметричный 4-тензор
р =dAk_dAi =
дхг дхк
= Ак^ Ai^. (4.137)
ASia)=AxlkAxki
1а- контур
I
х1-\-Ахг
Рис. 4.5
Он имеет 6 существенно различных компонент и не может быть сведен к 4-
вектору. Но ему можно, согласно (4.39), сопоставить дуальный
антисимметричный тензор II ранга
Fik = (1/2 )e'MmFv
(4.138)
4.24. Выделим малый элемент двумерной гиперповерхности, который можно
считать плоским, в форме прямоугольника и введем локальную систему
координат, оси которой ink параллельны сторонам прямоугольника (рис.
4.5). Рассмотрим интеграл по замкнутой границе прямоугольника:
