Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Батыгин В.В. -> "Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория" -> 117

Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.

Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория: Учебное пособие — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 736 c.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка): sovremennayaelektrodinamikat12002.pdf
Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 225 >> Следующая

Ахк
(I) Aj dV = f [Ak(xl + Ax\ хк + rj) - Ak(x\ xk + 77)] dr]+ J(la) J
0
Ахъ
J [Aitf + xk) - Аг(х* +t,xk + Axk)\ dti
^AxlAxk - Щ;Ах1Ахк = Щ-') ASiK.
dx1 дх V dx1 dx J
374
Глава 4
Мы воспользовались малостью прямоугольника и учли только члены низшего
порядка.
Левая часть равенства представляет собой инвариант, не зависящий от
системы координат; таким же инвариантом должна быть и правая часть, a
ASlk представляет собой, следовательно, контравариантный тензор II ранга,
изображающий направленный элемент двумерной гиперповерхности. Далее
следует разделить всю рассматриваемую гиперповерхность на прямоугольники,
которые одновременно будут элементами касательных плоскостей в
соответствующих точках гиперповерхности, и для каждого из них записать
полученное выше соотношение. Просуммируем правую и левую части
приближенного равенства по всей гиперповерхности, ограниченной контуром
I,
0 (1а) °
устремляя к нулю площади прямоугольников. В правой части получаем
интегральную сумму, в пределе изображающую интеграл по всей
гиперповерхности. В левой части интегралы по внутренним отрезкам, общим
для соседних прямоугольников, входят с разными знаками и взаимно
сокращаются. Остается лишь интеграл по внешним границам прямоугольников.
В результате получается равенство, приведенное в условии задачи.
4.26.
0 Нх Ну Hz \ / 0 -Нх -Ну -Hz \
-Нх 0 Ez -Еу , Fik = нх 0 Ez -Еу
-Ну ~EZ 0 Ех Ну ~EZ 0 Ех
-Hz Еу ~ЕХ 0 J V Hz Еу -Ех 0 )
4.27. h = FikFik = -FikFik = 2(Н2-Е2), I2 = FikFik = -AE H.
4.28. а) Если в исходной системе Е х if = 0, т. е. напряженности
параллельны, то это свойство сохранится в любой системе, движущейся вдоль
общего направления Е и if с произвольной скоростью V < с.
Если в исходной системе Е х Н ^ 0, то из условия параллельности Е' х if'
= 0 находим систему, обладающую нужными свойствами, которая движется в
направлении Е х if:
V Е2 + Н2 - yJ{E2 - Я2)2 + 4{Е ¦ Н)2 у
- = --------------------------------------------------.С/ X г± .
- <1.
с 2(Е х Н)2 с
4.4. Ответы и решения
375
В любой другой инерциальной системе, движущейся относительно найденной
системы вдоль общего направления Е' и Н\ напряженности также параллельны
и имеют значения
Е'2 = (1/2) [Е2 -Н2 + у/(Е2 - Я2)2 + 4(Е-Н)2],
Н'2 = (1/2) [Я2 -Е2 + у/(Е2 - Я2)2 + 4(Е-Н)2].
б) При Е • Н = 0 и Я2 - Е2 > 0 можно обратить в нуль
электрическое
поле, а при Е ¦ Н = 0 и Е2 - Я2 > 0 - магнитное. Сохраняются в силе
формулы п. а), из которых следует
V = СЕ Х0н, Н' = Щгу/н2 - Е2 при Н > Е,
н2 яv ^
V = СЕ Х0н, S' = Щу/Е2-Н2 при Н<Е.
Е2 Е
При Е = Н искомая система, реализуемая макроскопическими телами,
отсутствует, так как V = с.
в) В силу инвариантности .Е • Н свойство перпендикулярности Ef • Н' =
= 0 должно выполняться во всех инерциальных системах, в том числе и в
исходной: Е • Н = 0. Если же • Н ф 0, то и Е' • Нг ф 0.
г) и д) Е' = Н' возможно лишь при условии Е = Н.
4.29. При к < J/с в системе отсчета, движущейся со скоростью У = = c2k/J
параллельно оси цилиндра в направлении вектора Е х Н, электрическое поле
Е' = 0, а магнитное поле
При к > J/с в системе отсчета, движущейся со скоростью V = J/к
параллельно оси цилиндра в направлении Е х Н, имеем
При к = J/с не существует такой системы отсчета, в которой имелось бы
только электрическое или только магнитное поле. Как видно из приведенных
формул, при к, -> J/с скорость такой системы отсчета стремилась бы к с, а
величины обоих полей - к нулю.
376
Глава 4
4.30.
(1) diFik = ^-j\ dkjk = о,
(2) Fikj + Fkij + Fu9k = 0.
Второе уравнение Максвелла можно записать более компактно через дуальный
тензор Flk = егк1шdiAm\
(3) дгРгк = 0.
Из уравнений (1) следует, что совокупность величин jk = (cp,j) образует
четырехмерный вектор плотности тока.
4.31. а) В фиксированный момент времени (dt = 0) получаем уравнения вида
Е • dr = 0, dr х Н = 0. Из второго уравнения следует, что dr || Н, т. е.
dr является элементом магнитной силовой линии. Систему (2) можно записать
в виде dxk = 0, откуда следует ее релятивистская инвариантность.
б) Условие совместности системы имеет вид Е • Н = 0. Оно релятивистски
инвариантно и показывает, что релятивистски инвариантные магнитные
силовые линии можно ввести только для взаимно перпендикулярных
электрического и магнитного полей.
в) Условие интегрируемости системы имеет вид
Нх(гоЬЕ+1Щ) -EdivH = 0,
\ с at J
или в ковариантной записи, FikeklrnndiFmn = 0, и всегда удовлетворяется в
силу уравнений Максвелла.
г) Записав уравнения (2) в виде (Е _L Н):
Н(Н -dr) Е х Н ,
dr = ----- ------Ь с----- - dt,
Я2 Я2
убеждаемся в справедливости сделанного в условии задачи утверждения г).
4.32. В трехмерной записи система, приведенная в условии задачи,
принимает вид
dr х Е - сН dt = 0, Н dr = 0,
4.4. Ответы и решения
377
откуда следует, что в любой фиксированный момент времени (dt = 0)
выполняется условие параллельности dr х Е = 0 приращения dr и
электрического вектора Е. Уравнения совместны при Е Н = 0 и интегрируемы
Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 225 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed