Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
поля на основе этого исключительно мощного метода исследования. Начнем с
составления действия, пригодного для описания в классической теории в
наиболее общем случае физической системы, состоящей из электромагнитного
поля и заряженных релятивистских частиц, взаимодействующих через
посредство поля. Для частных случаев зтот вопрос уже рассматривался в
задачах (4.120), (4.121). Две составляющие части действия были построены
ранее - действие для свободной частицы (3.27) и член взаимодействия
частицы с полем (4.43). Обобщая эти выражения на систему частиц, будем
иметь
(1)
X = \{dkvdw) - V{4>)
где потенциал V (ip) имеет вид
(2)
v{<p) = -u2 ° х 4
а
(4.103)
и
а
(4.104)
4.3. Введение в теорию поля
355
где индекс а обозначает номер частицы и суммирование производится по всем
частицам. Для полного описания рассматриваемой системы необходимо
дополнить действие слагаемым Sem относящимся к электромагнитному полю:
S = Sp + Sint + Sem. (4.105)
Последнее слагаемое должно быть выражено через полевые функции, то
есть 4-потенциал Ai, и удовлетворять сформулированным выше принци-
пам релятивистской инвариантности и симметрии. Для электромагнитного поля
следует добавить еще одно важное условие, ограничивающее возможный вид
действия - линейность уравнений поля, вытекающую из принципа суперпозиции
полей в вакууме Из этого условия следует, что действие должно быть
билинейным функционалом 4-потенциала. К тому же действие для поля должно
быть релятивистским и калибровочным инвариантом. Всем этим требованиям
удовлетворяет единственный инвариант электромагнитного поля FlkFik,n
через который и выражается действие для электромагнитного поля:
Sem = ~ikrcJ р1крък d^x- (4Л06)
Численный множитель соответствует гауссовой абсолютной системе единиц.
При выводе уравнений движения поля из действия (4.105) нужно варьировать
электромагнитный потенциал при фиксированных значениях 4-координат
частиц. При этом удобно записать слагаемые, в которые входит потенциал,
единообразно, то есть в виде интеграла по четырехмерному пространству-
времени, тогда как в (4.104) Sint записано в виде суммы интегралов по
мировым линиям частиц. Требуемая запись достигается путем использования
дельта-функции Дирака, через которую легко выразить плотности заряда и
электрического тока:
p(r, t) = ^2eaS(r - ra(t)), j(r, t) = ^2eavaS(r - ra(t)). (4.107)
a a
Введя единое время t для всех частиц, будем иметь dxla/dt = (с, va) и
Sint =J f(x)Ai(x)d4x, (4.108)
где
f{x) = (cp(r, t), j(r, t)) (4.109)
11Второй инвариант преобразования Лоренца, егк1гпменяет знак при инверсии
пространственных осей, и его включение в действие приведет к уравнениям
различного вида в правой и левой системах координат.
356
Глава 4
- 4-вектор плотности тока. Ток можно записать в такой форме, чтобы
его векторная природа была видна явным образом. Используем 4-скорость
частицы:
f(x) = ^ еаигаЛ/1 - vl/c25 (г - ra(t)) =У] сеа ( ига54 (х - ха(та)) dra.
а а
(4.110)
В последнем выражении интегрирование проводится по инвариантному
собственному времени а-й частицы, dra = y/l - v2/c2dt, а
54(х - Ха) = 5(г - Га)5(х° - Ct)
- также релятивистский инвариант. Последнее утверждение следует из
инвариантности d4x и интеграла
J д4(х - ха) d4x = 1, п
который имеет указанное значение для любой четырехмерной области Q, если
она включает точку ха.
Пример 4.18. Показать, что вариация действия SSint при заданном токе
jl(x) калибровочно инвариантна, хотя величина Sint зависит от калибровки
4-потенциала Ai(x).
Решение. Подставив в (108) преобразованный согласно (4.73) потенциал Ai =
Ai - dif, находим
Stnt = sint + J f{x) dj(x) dAx.
Далее преобразуем подынтегральное выражение:
f(x) dif(x) = di(ff) - fdij1.
Последнее слагаемое обращается в нуль в силу сохранения электрического
заряда (уравнение неразрывности):
дгЗг = ^ + div 3 = 0- (4.111)
Оставшееся слагаемое при интегрировании преобразуется по теореме
Остроградского-Гаусса в интеграл по трехмерной гиперповерхности,
ограничивающей объем интегрирования:
J di(ff) d4x = j> ff d3T,i.
4.3. Введение в теорию поля
357
Но поскольку поле на указанной гиперповерхности фиксировано, то вариация
от последнего интеграла равна нулю. Таким образом, вариация 5Sint
калибровочно инвариантна: SSint = SSint.
Пример 4.19. Вывести уравнения Максвелла в четырехмерной форме путем
варьирования действия (4.105).
Решение. Уравнение SS = 0 принимает вид
" s / (-тЬрЛр'" - ^'А') л = °-
где варьируется 4-потенциал, a jг следует рассматривать как заданный
источник поля. Имеем:
5 (.F%kFik) = 2Fik5Flk = 2Fik5 (дгАк - дкАг) = -AF%k дк5Аг.
Далее преобразуем последнее выражение:
Fik dkSAi = дк (FikSAi) - (dkFik) SU
При интегрировании по 4-объему первого слагаемого в правой части получим
с помощью теоремы Остроградского-Гаусса
J дк (FikSAi) d4x = ? FtkSAtd3Ek = 0, п s
так как SAi = 0 на ограничивающей 4-объем гиперповерхности Е. В итоге (1)
принимает вид
п
откуда ввиду произвольности 5Ai и области интегрирования следует
