Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Батыгин В.В. -> "Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория" -> 112

Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.

Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория: Учебное пособие — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 736 c.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка): sovremennayaelektrodinamikat12002.pdf
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 225 >> Следующая

уравнение Максвелла в 4-форме
dkFlk = -^rj\ (4.112)
Второе уравнение Максвелла запишем через дуальный тензор поля: согласно
(4.30), F%k = (\l2)e%klmFim = e%klmdiAm, откуда diFlk = elklmdidiArn = =
0. Последнее равенство и дает второе уравнение Максвелла:
diFik = 0. (4.113)
358
Глава 4
С помощью (4.36) его можно записать через исходный тензор поля:
diFik + diFkl + dkFH = 0. (4.114)
Задача
4.127*. Получить уравнения Максвелла в трехмерной форме из равенств
(4.112) и (4.114).
Теорема Нетер и интегралы движения. Уже упоминавшиеся выше свойства
симметрии классических и квантовых полей, которые выражаются в
инвариантности действия относительно некоторых преобразований
четырехмерных координат хк и полевых функций qA(x), приводят к сохранению
ряда динамических величин, характеризующих поле. Нахождение интегралов
движения играет в теории поля не менее важную роль, чем в классической
механике. Связь между законами сохранения и свойствами симметрии поля
устанавливает теорема Э. Нетер, рассмотренная в следующем примере.
Пример 4.20. Пусть действие для некоторого поля инвариантно относительно
бесконечно малого преобразования 4-координат и полевых функций вида12
x'k=xk + Sxk, 5xk=TkaS\a; q'A(x') = qA(x) + S*qA(x),
S*qA(x) = GBaqB(x)5\a. ^
Здесь \a (a = 1, 2, ..., n) - не зависящие от координат и взаимно
независимые параметры преобразования; тождественному преобразованию
отвечают значения Ха = 0; 5Ха - их малые приращения; 5qA(x) = 5*qA(x) -
- qA5xl - вариация вида функции при неизменном аргументе, аналогичная
той, которая использовалась в примере 4.16, и отличающаяся от полной
вариации 5*qA(x), определенной выше и включающей в себя и изменение
аргумента; все вариации линейны по 5\а.
Показать, что при указанных условиях можно построить п 4-компонентных
величин Jk (а = 1, 2,, ..., п) - обобщенных токов 13, или токов
12Преобразования (4.115), не обязательно бесконечно малые, образуют
группу Ли - см, например, [Боголюбов и Ширков (1980)].
13 Индекс к является векторным значком. Смысл индекса а зависит от выбора
параметров преобразования Аа. Если Аа - скалярный параметр, то - 4-
вектор. Если а - векторный значок, то ток Нетер - тензор II ранга. Если а
включает в себя два векторных значка, то ток Нетер - тензор III ранга и
т. д.
4.3. Введение в теорию поля
359
Нетер - удовлетворяющих уравнениям непрерывности
dkJa=0- (4.116)
Какие сохраняющиеся величины связаны с обобщенными токами?
Решение. Естественный путь решения поставленной задачи - приравнять нулю
вариацию действия, обусловленную рассматриваемым преобразованием (4.115),
и из полученного равенства, которое должно линейно зависеть от параметров
8Аа, извлечь требуемые уравнения непрерывности (4.116). Начнем с
вычисления вариации действия 8*S, обозначая ее звездочкой, поскольку
преобразование (4.115) затрагивает не только изменение формы полевых
функций но и преобразование координат:
8*S =
dx'k
dV-
J % (qA(x), qfk, xl) d4x.
П' n
(4.117)
Перейдем в первом интеграле к переменным х. С помощью (4.115) находим
d4x' =
дх,к
дх1
д8хк
дх1
d4x
1 +
д8х1 А дх1 )
где использован якобиан преобразования от штрихованных координат к
нештрихованным, а последнее приближенное равенство записано с точностью
до членов первого порядка по 8х. Далее,
dq'A(x') qxi q
qA(x) + SqA(x) +
дх,к дх,к дх1 Опять с точностью до линейных членов находим
дх1 ^ д дх/к дх/к
и окончательно получаем
dqfA(xf)
dqA(x)
dxi
8xJ
(хн - Sxl(x')) ~6[-
д8х\х)
дхк
дх'к
= я?к + Sqfk + qXjSx3.
14Нетер Амали Эмми (1882-1935) - немецкий математик, автор
фундаментальных работ по теоретической физике, устанавливающих связь
законов сохранения со свойствами симметриии физической системы.
360
Глава 4
Используя полученные формулы, приводим (4.117) к виду 5*S = J jif (qA +
SqA + qA5xJ, qfk + Sqfk + qfkjSx1, xl + Sxl) x
и после устранения членов выше первого порядка малости получаем
^/HN!5+^+Ш^Н"'х+
+/(Р - зШ +/ **•
П ' Q
Здесь производится суммирование по повторяющимся индексам А, /с.
Первый интеграл сворачивается в простое выражение
/
J dx
п
а второй равен нулю ввиду выполнения уравнений Лагранжа (4.95). В
оставшиеся члены подставляем величины 5qA = G%aqB5Xa - qA5xk, 5хк =
= Гка5Ха и приравниваем вариацию действия нулю:
S'S = = 0. (4.118)
п ,/е ,/е
Параметры преобразования 5Ха не зависят от координат и поэтому вынесены
за знак интеграла.
Ввиду линейной независимости величин 5Аа и произвольности области
интегрирования Q из (4.118) следует п равенств (4.116), где
= - 28? - f ^qj Г о - (4Л19)
V dqfk j dqfk
- обобщенные токи (токи Нетер).
4.3. Введение в теорию поля
361
Равенства нулю четырехмерных дивергенций выражают собой в
дифференциальной форме законы сохранения физических величин, связанных с
обобщенными токами:
1 dJ°
- + div Ja = 0. (4.120)
с at
Здесь Jq/c можно рассматривать как трехмерную плотность некоторой
величины, а Jа - как плотность ее потока. Пользуясь трехмерной теоремой
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 225 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed