Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
Ea + \{Hrz-Hzr) Ez + j.(Haf - Hra
4.61. При H = 0 траектории электронов прямолинейны. По мере увеличения
магнитного поля траектории все больше искривляются в плоскости,
перпендикулярной оси. Введем цилиндрические координаты (г, a, z), где z
совпадает с осью цилиндра. Электроны перестанут попадать на анод, когда
при г = b их скорость окажется параллельной поверхности анода, т. е. при
г\г=ь = 0. При этом а\г=ь = vmax/b. Воспользуемся одним из уравнений
предыдущей задачи, которое в данном случае принимает вид
d
тг2а
dr
dt V y/l-v2/c2) c dt
Проинтегрируем обе части равенства вдоль траектории частицы от г = а до г
= Ъ:
ъ
д/l - V2/с2
г=Ь
е 2тг с
/
2тгНг dr = -
еФ
2тг с
Отсюда
лч _2ттсЬ_ _ \2rnV (л , 1е1^
- , , Ртах - 2ТГСЬ\1 ^ ^ 2 2
если выразить импульс через кинетическую энергию и положить Ттах =
= М^.
При малой разности потенциалов \e\V <С тс2 (или v <С с, что то же самое)
результат упрощается:
390
Глава 4
4.62. Разность потенциалов должна быть больше, чем
vc = J-
\п2 к + га2 с4 _ тс2
При |е|1/ <С тс2 (нерелятивистские электроны), получаем из общей формулы
2|e|r/2 9 h
me a
4.63. b = a exp
Рос
N/'
где po =
mvo
a/1 - Vq/c2
4.65. а) В нерелятивистском случае кинетическая энергия Т - квадратичная
функция скоростей частиц. По теореме Эйлера об однородных функциях
2Т = H^-a'Va = Y.Pa'Va'
а а
где суммирование производится по всем частицам в системе. Перепишем это
равенство в виде
и произведем усреднение согласно формуле
st
7hjm
о
Поскольку
dt.
Jt(y.Pa-ra\ =Jt Y^Pa-Га \t=St ~ E Pa ' "*a |t=0
' a ' a a
в силу ограниченности импульсов и координат частиц, то
W 2T = 5>.f&.
5t-roo
4.4. Ответы и решения
391
Потенциальная энергия при кулоновском взаимодействии является однородной
функцией координат степени - 1, поэтому
(2) Y,ra-§-a=-U и 2Т = -и.
а
При этом сохраняющаяся полная энергия системы заряженных частиц Е = = Т +
U = - Т <0, так как финитное движение возможно только при отрицательной
полной энергии.
Соотношение (1) называется теоремой вириала. Оно дает связь между Т и U
во всех случаях, когда потенциальная энергия представляет собой
однородную функцию координат,
б)
(3) 2T+^L.H=-U,
где L = J2ma[ra х va\ - полный момент импульса системы.
а
4.66. Траектория лежит в плоскости, перпендикулярной сохраняющемуся при
движении моменту импульса I. При ее' < 0 (притяжение) и 0 > 8 ^ -
те2е'2/(2/2), где т = ГП1ГП2/(т\ +Ш2) - приведенная масса, движение
финитно (связанное состояние). Траектория - эллипс, уравнение которого
1 + 6 cos ср '
Здесь
(2)
а =
б =
шее
2 812 9 /9
те е
<1,
угол (р отсчитывается от линии, соединяющей частицы в момент их
наибольшего сближения. При ё -> 0 (б -> 1) траектория переходит в
параболу, движение становится инфинитным.
При ё > 0 в обоих случаях, ее' < 0 и ее' > 0, траектория представляет
собой гиперболу
+ 1 + 6 cos ср '
392
Глава 4
где б > 1. Знак (+) соответствует притяжению, вторая частица находится во
внутреннем фокусе гиперболы (рис. 4.10 а). Знак (-) соответствует
отталкиванию, вторая частица при этом находится во внешнем фокусе
гиперболы (рис. 4.106).
4.67. Дифференциальное сечение рассеяния можно вычислить по фор-
5 ds
муле
(1)
а(в) =
L вс1в'
где в - угол рассеяния частицы, соответствующий данному значению s
параметра соударения (прицельного расстояния). В данном случае 0 - угол
между направлениями подлета частицы к рассеивающему центру и отлета
от него, определяемый асимптотами гиперболы. Из рис. 4.10 а (притяжение)
находим 0 = 2ао - 7г, из рис. 4.106 (отталкивание) 0 = тг -
- 2ао. Оба случая объединяются в одну формулу в/2 = ±(тг/2 =р ао).
Отсюда и из уравнения траектории (3) предыдущей задачи находим
cot2 (0/2) = sin 2 (0/2) - 1 =
= б2 - 1 =
= 2 812 / (me2e'2).
= cos 2 ао - 1 = б2 - 1 =
Момент импульса выражается через прицельное расстояние формулой I = mvos.
Таким образом,
(2)
s2= e^cot2^.
,4 о
Дифференцируя и подставляя в (1), получим знаменитую формулу Резерфорда,
с помощью которой было открыто атомное ядро:
(з)
<т(6>)
= (-
ее
\2mvl) sin4 (0/2)
Сечение одинаково в случае притяжения и отталкивания частиц.
4.4. Ответы и решения
393
4.68. В системе центра масс:
2 г
da =
4 Sc
sin в/2 cos в/2
dQc
где Sc = mvg/2, m = mi/2 - приведенная масса. В лабораторной системе:
dcr = ( -г-
sin4$ cos4$
4 cos 'ddQ.i,
где Si = mi^o/2, $ - угол рассеяния в лабораторной системе, 0 ^ ^
тг/2.
Рис. 4.10 б
4.69. Через площадку da = sds da плоскости,перпендикулярной направлению
движения частиц, проходит за единицу времени nv da частиц. Они передают
неподвижной частице импульс, равный
(1) mAvznv da,
где Avz - изменение z-компоненты скорости одной частицы при рассеянии ее
на неподвижной частице.
Искомая сила, равная полному импульсу, передаваемому за единицу времени,
получится интегрированием (1) по всему сечению пучка частиц.
394
Глава 4
При этом нужно выразить Avz через прицельный параметр s. Поскольку
столкновения упругие, имеем
