Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
расчета, произведенного в предыдущем примере, на рассматриваемый случай
невозможно. Это связано с тем, что уравнений Гамильтона вдвое больше, чем
уравнений Лагранжа, и для их получения, следовательно, нужно иметь вдвое
больше независимых вариаций.
Это затруднение можно преодолеть, если ввести в лагранжиан дополнительные
формально независимые переменные, подчинив их соответствующим условиям
связи. Рассмотрим этот прием сначала на примере вывода уравнений
Лагранжа. Обозначим sA = q^ и введем величины sA в правую часть равенства
(4.92):
(1) S = J 2 (qA, sB, q% хк) d4x.
п
Вариационная задача с действием (1) и уравнениями связи
(2) sA-qf0 = О (A = l,2, ...N),
очевидно, эквивалентна той, которая была рассмотрена в примере (4.16). Но
теперь мы можем считать переменные qА, sА и их вариации независимыми,
если введем в задачу неопределенные множители Лагранжа Хл(хк):
(3) S = J (qA, sB, qfa, хк) - Ал (sA - g$)] d4x.
п
Вычислив первую вариацию действия, как в примере (4.16), получим 2N
уравнений, в которые войдут и множители Лагранжа:
352
Глава 4
С учетом уравнений связи (2) система (4) эквивалентна лагранжевым
уравнениям (4.95).
Теперь используем тот факт, что согласно (4), (2) и (4.96) лагранжевы
множители совпадают с плотностью обобщенного импульса:
\ -
А dsA dq$ Л'
Вводим их в выражение (3) и вместо величин qA, sA принимаем за
независимые переменные систему qA, it а
s = J [пAqj> - Ж(qA,nв, q%,xk)\ d4x (4.98)
П
Приравнивая нулю первую вариацию действия при независимых 6qA, 5тга,
получаем уравнения поля в гамильтоновой форме:
дя^=дЖ_ дтгл=_дЖ (4Ш
дх° дтга ' дх° dqA d%a dqА
Эти уравнения менее симметричны, чем уравнения Лагранжа (4.95), поскольку
координата х° оказывается выделенной. ¦
Задачи
4.118. Уравнение, описывающее волны малой амплитуды в упругой
изотропной среде, имеет в трехмерных обозначениях вид
(1) = MAq + (К + I)V(V ¦ q),
где положительные постоянные р, К - это соответственно плотность среды,
модуль сдвига и модуль всестороннего сжатия; вектор q(r, t) описывает
смещение малого элемента среды в результате деформации, вызванной
распространяющейся волной.
Записать лагранжиан и гамильтониан, приводящие к уравнению (1).
4.119. Система макроскопических тел малых размеров ("материальных
точек"), взаимодействуя гравитационными силами, совершает
нерелятивистское движение. Построить действие для полной системы,
состоящей
4.3. Введение в теорию поля
353
из вещества и гравитационного поля, описываемого ньютоновским
гравитационным потенциалом cp(r, t). Вывести из вариационного принципа
уравнения движения для материальных точек и гравитационного потенциала.
4.120. Сделать то же самое для системы точечных заряженных частиц в
пренебрежении магнитным взаимодействием и гравитацией.
4.121. В пространстве задано распределение стационарных электрических
токов j(r). Записать действие, приводящее к уравнениям магнитостатики.
4.122*. Комплексное скалярное поле ф(г, t) в нерелятивистском приближении
имеет лагранжиан
где т > 0 - масса частицы, Н - постоянная Планка, U(r,t) - потенциальное
поле, в котором движется частица. Получить из лагранжиана и
интерпретировать уравнение движения для ф(г, t).
УКАЗАНИЕ. Комплексное поле ф = q1-\-iq2 эквивалентно двум действительным
4.123*. Построить плотность функции Гамильтона Ж, используя лагранжиан
(4.100). Вычислить полную энергию поля и дать квантовую интерпретацию
полученного результата.
4.124*. Уравнение Шредингера для волновой функции ф(г, t) бес-спиновой
нерелятивистской заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле
имеет вид
где A(r,t) и (p(r, t) - электромагнитные потенциалы (заданные
действительные функции). Построить лагранжиан, приводящий к уравнению
(4.101).
4.125*. Комплексное скалярное поле ср(хк) имеет релятивистски
инвариантный лагранжиан
(4.100)
функциям q1(r, t) и q2(r, ?). В качестве независимых вариаций удобно
рассматривать линейные комбинации вариаций этих функций Sq1-\-iSq2 = ёф и
Sq1-iSq2 = ёф*.
аЖ = ~55[у~Й'4(г'')1 ^+ е",(г-*)Л (4-mi)
г = | (aW-) - !§чи2.
(4.102)
354
Глава 4
Найти уравнение движения для поля ср(хк). Какой вид имеет дисперсионное
соотношение между волновым вектором и частотой соответствующих волн?
Интерпретировать его в духе квантовых соотношений де-Бройля.
4.126*. Пусть лагранжиан действительного скалярного поля ср имеет
вид
(модель Хиггса). По сравнению с потенциалом предыдущей задачи
квадратичный член поменял знак и добавлен положительный член четвертого
порядка.
Записать дифференциальное уравнение для поля ср. Какой характер будет
иметь решение при ср2 <С /i2/A? При каких условиях для указанного
эффективного потенциала можно сохранить интерпретацию ср как волновой
функции квантов поля и какую массу будут иметь эти кванты?
Действие для электромагнитного поля. После нескольких примеров и задач,
которые иллюстрировали эффективность вариационного принципа в теории
самых разных полей, перейдем к дальнейшему изучению электромагнитного
