Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
еЕу VE = ~H-
Возможные проекции траектории частицы на плоскость приведены на рис. 4.9.
Траектории а), в), д), ж) являются трохоидами общего вида, б), е) -
циклоидами. Движение будет нерелятивистским во все моменты времени, если
vo <С с, Еу/Н <С 1.
4.54. рх = рох cos пНт- роу sin пНт, ру = роу cos пНт- рох sin пНт, Pz =
(pozE/H) ch пЕт + (g0E/cH) sh кЕт, 8 = 8o ch кЕт + pozcsh кЕт, к = e/mc.
4.55. Помимо прямого интегрирования уравнения движения в рассматриваемой
системе отсчета существует другой эффективный метод
сЕу
х = a sin LOct Н--.
Н
у = a(cosooct - 1), €-Ez о г=Ъп' +VOz'
4.4. Ответы и решения
385
решения задачи: преобразование Лоренца из системы, в которой
электромагнитное поле и движение частицы выглядят наиболее просто. Такой
системой S' является система, движущаяся относительно исходной со
скоростью ve = сЕ х Н/Н2 вдоль оси Ох, в которой Е' = 0, а Н' = = Нл/Е2 -
Н2/Н (см. задачу 4.28). Направив ось Oz вдоль Н, а ось Оу вдоль ??,
запишем решение задачи в системе S':
Рх = Pox cos и'ст - р'0 sin U)'CT, р' = р'0х sin и>'ст + р'0 COS U>'Т,
Рг
= p'0z, 8' = 8q, lo'c = eH'/тс = еу/Н2 - E2/mc.
Поскольку т-инвариант и -инвариант, следует преобразовать в исходную
систему только компоненты импульса и энергию.
В результате получим
$ = 1е(?о - VEPox) + 1%{рох - ve80/c2)ve COSu'ct - 7ePovve sin u/ct, Px =
Je(?o - vEP0x)vE/c2 + 7IO0Z - ve80/c2) cosU)'CT - 'УЕРоу sinu'ct, Py =
Poy cosw'r + ¦JeCpox -ve80/c2) sinu/cr,
Pz = P0z, IE = (1 - vl/c2)-1'2 = tf/(tf2 - E2)1/2.
Зависимость координат от собственного времени вычисляется путем
однократного интегрирования из уравнений dx/dr = рх/т и т. д.
4.56.
E{SqE - срохН)
4.
¦УЕ2 - Н2 Е - Н
= ЩЬЕ-сръН)
F с(Е2 - Н2)
РОуН sh KJF? - НЧ + E(-cpof ^°Я). VE2 - H2 c(E2 - H2)
Py = Роу ch/c\/-E2 - H2t + cP0xH ^2 _
c\jE2 - H2
Pz=Poz, к = е/тс.
386
Глава 4
При Е -> Н, раскрывая неопределенности, находим
8 = (?о - сР0х)ш2Т2/2 + CpoyLUcT + (§о?
Pz = (8о/с - р0х)и2сТ2/2 + PoyLJcT + р0х,
Ру = 0Vс Рох)шст -Ь Ро?/?
= еН/тпс.
Вычисление траектории частицы в параметрической форме (параметр -
собственное время) сводится к однократному интегрированию полученных
выражений.
4.57. Построим тензор электромагнитного поля плоской волны:
(1) Fik = Ak,i - А^к = (щ?к - nk?i)f'(s).
Поскольку ri1 Fik = 0, из уравнения движения (4.53)
(2) m^ = -Fikuk
ат с
находим тс1(щпг)/с1т = 0. Отсюда получаем
(3) щпг = щ(0)пг = const,
где введено начальное значение 4-скорости частицы г^(О). Подставляя,
далее, в (3) щ = dxi/dr и выбирая 4-координаты таким образом, чтобы было
Xi(r) = 0 при г = 0, получаем
(4) s = щхг = щиг(0)т;
таким образом, переменные г и s отличаются постоянным множителем, и в
уравнении (2) можно перейти к независимой переменной s:
(5) m-y- =------у- (sinkuk(0) - щекик) f(s).
ds сщи1{ 0)
t d{Ui?%)
Последнее уравнение упрощается путем умножения его на ? : тп-^-- =
as
= - (e/c)/'(s), откуда находим
(6)
щег = щ(0)ег - (e/mc)[f(s) - /(0)].
4.4. Ответы и решения
387
Подстановка (6) в правую часть (5) дает простое уравнение с известной
правой частью:
/|-,\ duj р
7 -Г = -
as тс
ег -
щи\0)
?кик(0) - ^(/(s) -
m
После интегрирования находим 4-скорость частицы в функции переменной s:
(8) Ui(s) = щ(0) + ^
и 4-координаты
?кик{0) п1щ( 0)
[/(*)-/(о)]-
2т2с2 niul(0)
щ [/(s) - /(о)]2,
S
Xi(s)=Xi(0) + J Ui(s') ds'.
Последние два равенства дают закон движения частицы в параметрической
форме.
Полагая в равенстве (8) г = 0, находим энергию частицы в поле плоской
волны:
(9) 8(s) - S0 + е
?о - По
?кик{ 0) п1щ( 0)
+
По
2тс п1щ(0)
[/(S) - /(О)]2.
Формула упрощается, если частица в начальный момент покоилась,
т. е. = тс2, г/Д0) = (с, 0):
(10)
S(s) = тс2 +
2тс"
[/(*)-/( о)]2.
Если на частицу действует волновой пакет конечной протяженности, т. е.
/(0) = 0 и /(5) -> 0 при 5 -> оо, то результирующего набора энергии
частицей за все время действия волны не происходит, S(oo) = тс2. В
периодическом поле энергия частицы колеблется около среднего значения
388
Глава 4
Средний импульс первоначально покоившейся частицы, на которую действует
периодическое поле, отличен от нуля в исходной системе отсчета:
Задачу можно решить также путем интегрирования уравнения движения в
трехмерной форме или методом Гамильтона-Якоби.
Здесь значки ||, _L относятся к направлениям, параллельному и
перпендикулярному относительно п.
4.59. х = xq cos cot, у = уо ch cot, z = vot + zо, где со2 = 2ek/m.
Из полученных зависимостей x(t) и y(t) видно, что с помощью линзы
рассматриваемого типа может быть сформирован пучок заряженных частиц,
имеющий форму плоской ленты.
(12)
р= ее/(0) + ^ Г/2 + /2(0)" .
с 2тс6 L -I
4.58.
U*(s) = иг(0) + ^ A(s) - Аг(0) + ^-%(0) (A*is) - А*{0)) L 0)
s
0
В трехмерной форме
S
S
0
0
s
0
s
S
/
0
0
w = <?(0) - срц (0).
4.4. Ответы и решения
389
4.60.
d_ f rnr dt\^l-v2/c2
d_ ( mr2a dt V д/l - v2/с2
mz
dt V \/l - v2/с2
тГа + eEr + | (-Haz + Hzra),
= e
= e
д/l - V2/с2
