Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
преобразования 4-потенциала. Чтобы избавить его от этих существенных
недостатков, следует добавить к нему подходящий тензор с равной нулю
дивергенцией, взятой по индексу к. Такой тензор, как было разъяснено в
примере 4.20, сам должен представлять собой дивергенцию от некоторого
тензора (в данном случае III ранга), антисимметричного по двум значкам.
Исходя из вида (4.125), естественно выбрать flkl = (а/4тт)FlkА1, fkii = -
flkl, с неопределенным пока множителем а. Его дивергенция/^^ =
(a/4:7r)FlkA\i; при этом учтено, что Flk^ = 0wpnjk = 0 в силу уравнения
Максвелла (4.112). Заметим, что flk\i,k = (а/4тг)Flk А1 ^ = 0. Добавляя
тензор II ранга flkl^ к каноническому тензору (4.125), находим
ты = Jkl + fk\i = ±Ftk (А/ + aA\i) + ^ (FmnFmn) gkl
При a = - 1 получаем выраженный только через калибровочно инвариантные
компоненты Flk симметричный тензор энергии-импульса
тЫ = h (рЫр*1 + ЪЫртпр(tm)) • <4Л26)
След симметричного тензора энергии-импульса электромагнитного поля, как
следует из (4.126), обращается в нуль во всех системах отсчета: Tkk = =
0.
С помощью таблиц (4.68) найдем отдельные компоненты тензора энергии-
импульса. Величина
т00 = w = ^ (Е2 + Я2) (4.127)
представляет собой плотность энергии электромагнитного поля, уже
рассмотренную в разделе 2.3. Компоненты Т0а/с = Та0/с = да (а = 1, 2, 3)
образуют плотность импульса электромагнитного поля
9 = ШЕхН' (4Л28)
которая отличается от плотности потока энергии 7 (вектора Пойнтинга)
множителем 1/с2. Уравнение неразрывности для компонент тензора Так
имеет вид g°j. + Т°^ = 0. Записав его в интегральной форме с помощью
4.3. Введение в теорию поля
365
трехмерной теоремы Остроградского-Гаусса,
dGa
dt
<f Tal3dSp,
(4.129)
Js
где
G = g d3x
(4.130)
v
- полный импульс поля в объеме V, мы видим, что пространственная
часть Та@ представляет собой плотность потока импульса, а интеграл в
(4.129) дает поток а-й компоненты импульса из трехмерного объема V через
его поверхность S. Трехмерный тензор
&а(3 = ста0 = -ТаР = (ЕаЕр + НаЩ) --^(Е2 + я2) 5а0 (4.131)
Пример 4.22. Построить тензор энергии-импульса системы, состоящей из
электромагнитного поля и взаимодействующих с ним заряженных
релятивистских частиц.
Решение. Следует ожидать, что при наличии заряженных частиц дивергенция
тензора электромагнитного поля (4.126) (который мы теперь обозначим через
Т^) не обратится в нуль, так как энергия и импульс поля могут изменяться
при взаимодействии с частицами. Но полная энергия и импульс замкнутой
системы, состоящей из частиц и электромагнитного поля, должны
сохраняться. Поэтому величина Т^ k должна преобразовываться
Суммарный тензор Тгк = + T^art и можно будет рассматривать как
полный тензор энергии-импульса замкнутой системы.
Следуя этому плану, вычисляем
Далее, используя уравнения Максвелла (4.112) и (4.114) соответственно,
находим
называется максвелловским тензором натяжений.
в дивергенцию некоторого другого тензора, относящегося к частицам:
rnik ______ ___rpik
era,/с part,к'
(4.132)
Tim,к = ^ (FilFik,k + FlkFa,k + (1/2)FmnF
imn,i
^FaFt\k = ~^Fuji; FikFil,k = -(l/2)FklFkl,i
366
Глава 4
и получаем
Пкт,к = -(1 /c)Filjt.
Теперь используем выражение для 4-тока в форме (4.110) и уравнение
движения частицы (4.53):
uakFlak5A(x-xa)dTa = -ycma / -^Si(x-xa)dTa =
J а
+oo
= ~Устаига6(х - ха) _ +У^сша / ula - 5i{x-xa)dTa\
а а а а
внеинтегральный член обращается в нуль, а производная от дельта-функции
преобразуется следующим образом:
^ - х.) = *") = ¦"V - *").
Окончательно получаем:
дТ± я ^ Г { л, . . ^rt
-¦?jJ2Cma j "5\x-Xa)dTa
дхк dxk^ aJ ° ° v ° дхк '
а
откуда находим симметричный тензор энергии-импульса частиц:
Tpart = ECTOa [ UlUaS4(x -Xa)dTa. (4.133)
a
Полученный тензор обладает всеми нужными свойствами: интеграл по
трехмерному объему V дает
J d3x = У cma J U°av?ayj 1 - v2Jc2b(r - ra) d3 ж<5(ж° - ct) dt =
v a
= J2 mau0au°ay/l-vl/c2 = y^?a
V V
- полную энергию частиц в объеме V; интеграл
4.3. Введение в теорию поля
367
- полный импульс частиц в том же объеме. Трехмерный тензор
Tpfrt = Ер>^(г - г"(*)) (4Л34)
а
представляет собой плотность потока импульса частиц. ¦
Задачи
4.134. Привести тензор энергии-импульса электромагнитного поля к
диагональному виду Найти все системы отсчета, в которых тензор имеет
диагональную форму В каком случае диагонализация тензора невозможна?
4.135. Построить тензор энергии-импульса для лагранжиана (4.100),
соответствующего нерелятивистскому уравнению Шредингера. Дать
квантовомеханическое истолкование интегралам по трехмерному объему от
отдельных компонент тензора энергии-импульса.
УКАЗАНИЕ. Чтобы можно было в этой задаче использовать общую формулу
(4.124), нужно включить в лагранжиан энергию покоя частицы.
4.136. Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета S известен
тензор Тгк энергии-импульса поля. Наблюдатель движется относительно S с
4-скоростью щ. Какие плотности энергии и импульса (в расчете на единицу
трехмерного объема) измерит наблюдатель в своей системе отсчета?
