Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Батыгин В.В. -> "Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория" -> 113

Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.

Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория: Учебное пособие — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 736 c.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка): sovremennayaelektrodinamikat12002.pdf
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 225 >> Следующая

Остроградского-Гаусса и считая все величины достаточно быстро убывающими
в любом пространственно-подобном направлении (т. е. при удалении от
начала координат вдоль пространственных осей), находим обычным образом
интегральные законы сохранения:
Qa(x°) = J Ja(x°i X2 ? X3)d3X = Const, (4.121)
где интегрирование производится по всему бесконечному трехмерному
пространству.
Токи Нетер определяются использованным выше способом неоднозначно, так
как в фигурные скобки равенства (4.118) можно добавить произвольный
вектор (по индексу к) jk с равной нулю дивергенцией, зависящий от тех же
величин, что и лагранжиан. Указанный вектор можно выразить через
произвольный антисимметричный тензор второго ранга:
За = fa Л> fa=~fa, (4.122)
поскольку
¦к = д2 Ак = п Ja'k dxkdxlJa ~ '
Но эта неоднозначность не сказывается на значениях интегральных величин
Qa, так как добавка к интегралу в правой части (4.121) имеет ВИД J
fa0,"d3 х. Этот интеграл по бесконечному трехмерному объему от трехмерной
дивергенции преобразуется по теореме Остроградского-Гаусса в интеграл по
бесконечно удаленной поверхности и обращается в нуль ввиду отсутствия
поля на бесконечности. Плотность же распределения величины Qa в
пространстве и ее трехмерный ток остаются неоднозначными, и для
доопределения этих дифференциальных величин требуются дополнительные
соображения (см. примеры и задачи далее в этой главе). ¦
362
Глава 4
Задачи
4.128. Лагранжиан (4.100) квантовомеханической частицы инвариантен
относительно изменения фазы волновой функции на постоянную величину, т.
е. преобразования ф'(х, t) = ф(х, t) ехр(ш), а = const (координаты и
время не преобразуются). Построить обобщенный нетеровский ток, связанный
с этим преобразованием, и выяснить, сохранение какой величины связано с
инвариантностью относительно фазового преобразования.
4.129. Сделать то же самое для релятивистского лагранжиана (4.102).
Можно ли для обобщенного тока сохранить в релятивистском случае ту же
интерпретацию, что и в нерелятивистской квантовой механике?
4.130. Сделать то же самое для лагранжиана, построенного в задаче
(4.124) (нерелятивистская заряженная частица во внешнем электромагнитном
поле)
4.131*. Какое преобразование нужно произвести над волновой функцией ф
предыдущей задачи, чтобы при калибровочном преобразовании потенциалов
А = А - Vf(r, t), ер = <р +
не изменились плотность и ток вероятности, а также лагранжиан заряженной
частицы (последний был построен в задаче 4.124).
4.132*. Действительное векторное поле Vk{x) взаимодействует со скалярным
комплексным полем х(х) = e^~1^2(xi(x) + ^Х2(^))- Лагранжиан, описывающий
взаимодействующие поля, имеет вид
(1) <е = -\{dkVi - дгук){дкуг - д*ук)+
+ [(дк + igVk)x*][(dh - igVk)x} + i?x*x - Чх*х)2,
где g - константа взаимодействия.
1. Показать, что в отсутствие взаимодействия (д = 0) кванты поля Vk
имеют нулевую массу, а кванты поля х ~ массу, найденную в задаче 4.126.
2. При включении взаимодействия кванты векторного поля Vk приобретают
массу mv = g/i/VА (хиггсовский механизм возникновения массы у векторных
частиц).
УКАЗАНИЕ. Для облегчения расчетов сначала произвести фазовое
преобразование над полем х 2-1//2((^0 + rj(x)) exp(i?(x)/(p0) и
калибровочное преобразование над полем Vk ->¦ Ак(х) - (1 /д(р0)дк((х),
где ((х), ср0, tj(x) - действительные величины.
4.3. Введение в теорию поля
363
4.133**. Бесконечно малый сдвиг системы отсчета на вектор 5ак описывается
преобразованием 4-координат и полевых функций
Х,к =хк + 5ак, q'A{x') = q'A(x + 8а) = qA{x). (4.123)
Показать, что обобщенный нетеровский ток представляет собой тензор II
ранга (канонический тензор энергии-импульса) и имеет вид
(4Л24>
дЯ,к
К сохранению каких величин приводит инвариантность лагранжиана
относительно 4-мерного сдвига?
Пример 4.21. На основе теоремы Нетер найти тензор энергии-им-пулъса
электромагнитного поля в отсутствие заряженных частиц. Искомый тензор
должен обладать следующими свойствами: а) калибровочной инвариантностью
(т. е. выражаться только через компоненты тензора поля Fik); б)
симметрией относительно перестановки тензорных значков15.
Решение. Согласно (4.92), (4.106), лагранжиан свободного
электромагнитного поля имеет вид
у -_________L_ pik p.j
°^ет - i gyp гк'
В данном случае полевые функции qA = Аг. Чтобы вычислить частную
производную, входящую в (4.124), воспользуемся формулой
^em = ~ A,k) = ±Fik5A,k,
,/e
откуда
^em ____ 1 jp k
dA]k ~ 4?Г 2
Подставляя последнюю величину в (4.124), находим канонический тензор
энергии-импульса свободного электромагнитного поля:
Jkl = lFikAJ + _L (_FmnFmn) gkl. (4.125)
15Второе свойство требуется, чтобы связь между плотностью импульса и
плотностью момента импульса имела тот же вид, что и связь между импульсом
и моментом в классической механике - см. задачу 4.139.
364
Глава 4
Этот тензор имеет в силу теоремы Нетер равную нулю дивергенцию, Jk\k = 0,
но он несимметричен и неинвариантен относительно калибровочного
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 225 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed