Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
где 7 = (1 - u2/c2)-1/2.
4.43. ^ = 72"fi.
К
ЛАВ к \ 2к(1 - /З2)
4.45. ф(г, а) =----- In г,
д/(1 - /З2) cos2 а + sin2 а
где /3 = v/c, г - расстояние от точки наблюдения до провода.
4.46.
Решить задачу можно разными способами:
а) непосредственно вычислить электромагнитную силу, действующую на
движущийся точечный заряд со стороны линейного заряда и тока (учесть
лоренцево сокращение!);
б) определить силу в той системе отсчета, в которой магнитное поле
отсутствует, и воспользоваться формулами преобразования 4-силы;
в) воспользоваться конвекционным потенциалом ф, полученным в задаче
4.45.
4.47.
( \ 2 J(r)
& = е 1------ 1------------, где г - расстояние электрона от оси пучка,
V с J vr
г
J(r) = 2 J ^г ~ ток чеРез КРУГ радиуса г,
скорость электронов.
На поверхности пучка на электрон действует сила ^ = el 1 - ^
где а - радиус пучка.
va
4.4. Ответы и решения
381
4.48. Ускорение наружного электрона нормально к оси пучка и к скорости
электрона, поэтому в лабораторной системе отсчета имеем
(1 - v2/с2)1/2 ^ 2eJ(l - v2/c2)3/2 Vn = т ^ = mav
(можно использовать результаты задач 4.41 и 4.47). Уширение пучка
vnt2 vnL2
А а =
2v2
Согласно условию А а <С L, откуда vnL/v <С г; или vnt <С г; < с. Таким
образом, применение нерелятивистской формулы для вычисления Аа оправдано.
То же значение А а можно получить, рассматривая уширение пучка в системе
отсчета, движущейся вместе с электронами пучка; в этой системе на
электроны действует только электрическая сила.
4.49. Интегрируя уравнения движения, записанные в ковариантной форме,
dPx _ еЕ & у _ n dpz _ п dS_ _ еЕ dr rnc2 dr dr dr т х '
получим энергию и импульс в функции собственного времени:
Рх = (So/С) sh кЕг + Pox ch кЕт, ру = р0у, pz = О, ё = ёо ch кЕт + срох
sh кЕт, к = е/тс.
Повторное интегрирование уравнений dx/dr = рх/т и т. д. позволяет
получить 4-координаты в функции собственного времени. В частности,
х° (г) = ct = sh кЕт + (ch - 1). еЕ еЕ
Из последнего уравнения находим
Pox + eEt + л/ (pox + eEt)2 + m2c2 + р$
r(t) = ^ In------------------У-------------------------------.
еЕ pqx + So/с
Заметим, что г > 0 и растет с ростом t независимо от знака заряда, при е
> О и е < 0. Подставляя г, выраженное через t, в формулы для х(г), у(т) и
ё(г),
382
Глава 4
находим
*<*> = А
"V =
\J (Pox + eEt)2 + m2c2 +
г(?) = 0, <?(?) = \Jg$- с2р\х + (ф0ж + е?с?)2.
При ро тс и t тс/|е|^ движение нерелятивистское. Выражения для х, у, z
переходят при этом в обычные нерелятивистские формулы равноускоренного
движения:
x(t) = -t+^-t2,
т 2т
Рис. 4.8
y(t) =
т
По истечении достаточно большого времени с начала движения (t тс/\е\Е)
скорость частицы становится близкой к с (даже если она была мала в
начале). При этом
еЕ тс и движение становится равномерным (со скоростью с). Ход x{t)
и y(t) представлен на рис. 4.8 а и 4.8 6 соответственно. Движение,
которое получается ирироу = 0 (см. рис. 4.8 а) принято называть
гиперболическим.
4.50. Траектория частицы определяется уравнением
х =
?о_
еЕ
ch у - 1 СРОу
еЕ
СРОу
В нерелятивистском пределе <§о = тс2, ро <С тс и \еЕу\ <С \сроу.
Последнее следует из того, что еЕг - приобретенный частицей импульс -
должен быть в нерелятивистском случае мал по сравнению с тс. Таким
образом,
х =
теЕу2 р0х
2Роу
РОу
-У•
4.4. Ответы и решения
383
4.51. 1 =
еЕ
4.52. Из четырехмерного уравнения движения
=
ат тс
получаем уравнения для компонент 4-импульса:
A(l']=0 dpx _
dr \ с
dpy
dr
dr
- шсРу,
- UcPz,
dpz
dr
= 0,
где циклотронная частота оос = еН/тс положительна или отрицательна в
зависимости от знака заряда. Из уравнений и начальных условий находим:
8 = = yj т2с4 + с2Ро = const,
Pz = POz = const,
Px = Po± COS(luct + a),
Py = Po± sm(cocT + a).
С помощью уравнений dx/dr=px/m и т.д. находим 4-координаты как функции
собственного времени:
/ ч Р0± . / . ч . Рот/
ж(т) = Щщ-С sm(wcT + а) + ж0 -
t =
<?о
/ ч POz . zij) = -^-T + Zo,
/ ч Pol. / 1 ч I . РОх
y(T) = cos(ujcT+a) + y0+-
mujr
Импульс частицы, оставаясь постоянным по абсолютной величине, вращается
Рис. 4.9
384
Глава 4
вокруг направления магнитного поля с угловой скоростью сос (в функции
собственного времени) либо с меньшей угловой скоростью
Q = иостс2/8о =
в функции координатного времени. Сама частица движется по винтовой линии,
навитой на круговой цилиндр радиуса
R± = ср0±/\е\Н = ср±/\е\Н
(ларморов радиус, или гирорадиус частицы) с шагом h = 2tt\voz\/\Q\- Ось
цилиндра совпадает с силовой линией магнитного поля, имеющей в плоскости
хОу координаты xq, уо.
4.53.
сЕу
vx = асос cos LOct Н--,
Н
vy = - асос sin ujct, eEz
V'z = jji ^
где (jjc = eH/mc, auoc = vqx - cEy/H.
Вдоль оси z происходит равноускоренное движение под действием ^-
составляющей электрического поля. Движение в плоскости ху представляет
собой обращение заряда в однородном магнитном поле по окружности, радиус
которой R = vqx/uoc = срох/еН, а центр равномерно движется ("дрейфует") в
направлении, перпендикулярном плоскости (Е, Н). Скорость дрейфа
