Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
при
Е
-if
+ Н div Е = 0.
Последнее уравнение накладывает на распределение зарядов и токов условие
Е х j + срН = 0.
Если перечисленные условия не выполняются, то инвариантных силовых линий
электрического поля ввести не удается. Силовые линии движутся поперек
своего направления со скоростью и = - сЕ х Н/Е2.
4.34. ср = А = Я =
R
cR*
eR
7 2iT2
eR (l - У2/с
1 - sin2 $
3/2 '
H = ? x E, где R* = y/(x - Vt)2 + (1 - /32)(y2 + z2), (Vt, 0, 0) -
координаты движущегося заряда в момент t, R = (x - Vt, у, z) - радиус-
вектор, соединяющий заряд и точку наблюдения в момент t,d - угол между R
и V.
Чтобы представить 4-потенциал в ковариантной форме, введем 4-скорость
частицы ик и 4-вектор Rk = (c(t - t'), R(t')), где t' - момент генерации
поля частицей, R(t') - 3-вектор, соединяющий точку наблюдения с
положением заряда в момент tf (рис. 4.6). Не ограничивая общности,
полагаем х = 0. Rk - светоподобный вектор, т. е. RkRk =
= 0 и c(t - t') = R(t'). Из
рис. 4.6 видно, что отрезок S'S равен произведению скорости частицы на
время запаздывания vR(t')/c, следовательно, S'N = v • R(t')/c, a R(t')
sin$ = r_L- Из прямоугольных треугольников MNS и MSO имеем (MN)2 = (MS)2
- (NS)2 =
= rj_ + (vt)2 - (vR(t')/c)2 sin2 d =
= iT2.
С другой стороны, MN = S'M - S'N = R(t') - v • R(t')/c = c(t - t') -
- v • R(t')/c = 7-1 RkUk, т. e. = 7-1 RkUk. Таким образом,
ковариантная
Рис. 4.6
378
Глава 4
форма записи 4-потенциала
к _ еик
Ак =
ulRi
4.35. Из формул предыдущей задачи следует, что вдоль линии движения
заряда ($ = 0, 7г) поле Е ослаблено по сравнению с кулоновым Ес = = e/R2
в 1 - V2/с2 раз, а в перпендикулярном направлении ($ = тг/2) поле Е
усилено в (1 - V2/с2)-1/2 раз. При V ~ с поле велико только в узком
интервале углов 5$ " (1 - V2/с2)1/2 вблизи экваториальной плоскости.
Условие Е\\ = Яу относится к одним и тем же точкам 4-пространства. Но
если в системе покоя заряда какая-то точка находится на оси х на
расстоянии R от заряда, то в лабораторной системе то же точка будет
находиться от него на расстоянии R\/l - (З2. Сравнивая значения Е\\ в
точке Rд/l - /З2 и Е у в точке R, получим
_ еДу/Г^(1-/32) _ _
11 (дуГ^б2)3 R2 11 '
как и должно быть.
aia Ро-*** л V\" с ЗД(р0-г,)-р0г^ у
4.36. , А = -ip, Ь = -----------------4, Н = - х Ь,
7Г* 7 г*
где Я = (x - Vt, у, z), г* = (x - Vt, у/7, z/7), диполь движется по оси
ж, находясь в момент t в точке с радиусом-вектором Vt.
4.37. По определению
р = j rpdV, га = ^ J г х j dV.
Величину = -^(xajP - x@ja) можно рассматривать как пространственную часть
антисимметричного тензора II ранга, а рР@ = ^j°x@ - как
элементы его первой строки (при условии, что р00 = 0). Это следует из
того, что (ср, j) = jk образуют 4-вектор (см. задачу 4.30). Дополняя
первый столбец элементами рг0 = -р°\ получим антисимметричный 4-тензор
1 (л ik
"плотности дипольного момента" р.
16Кавычки здесь использованы в связи с тем, что введенная величина может
рассматриваться как плотность лишь в чисто формальном смысле - интеграл
от нее по объему дает дипольные моменты системы. Для макроскопических тел
такая трактовка значительно более оправдана.
4.4. Ответы и решения
379
Совокупность р и га выразится в виде интеграла f ргк dV:
ра = J Ц°а dV = - J /1а0 dV, т1 = - J dV
(в последнем случае индексы а, /3, 7 нужно переставлять циклически). Из
этих формул следует, что моменты (р, га) преобразуются как произведение
антисимметричного 4-тензора II ранга на объем и не образуют сами по себе
какого-либо 4-тензора. Используя правило (4.70) преобразования
антисимметричного тензора и правило (3.13) преобразования объема, находим
Р = Ро - (7 - !)-+ Т х то. т = т0 - (7 - 1)^-- 7Г х Ро-
4.38. Используя формулы преобразования четырехмерной плотности тока,
найдем, что стороны 2 и 4 прямоугольника (рис. 4.7) не заряжены, а
стороны 1 и 3 несут заряды q\ =
= - <2з = -VJ'ajс2, где J' - ток в системе S', связанной с петлей. Отсюда
(или из результата предыдущей задачи) следует, что электрический
дипольный момент петли, наблюдаемый в S', равен р = q^b = Vmf/с, где m' =
J'ab/c - магнитный момент петли, наблюдаемый в системе S'.
1 а
4 Lr *ъ 2 * т/
3 ^ У
О X
4.41.
mv(v • v)
Рис. 4.7
(1 -v2/c2)^2 c2(\-v2lc2f2
Частные случаи:
= 9\
mv
= S' при
(1 - V2/с2)3/2
mv _ ПрИ v J_ g;
v <C с.
(1 -v2/c2)^2
mv = S при
Величины т(1 - v2/с2) 3/2 и m(l - v2/с2) х!2 в старой научной литературе
назывались продольной и поперечной массами соответственно. Но
380
Глава 4
при произвольном угле между силои и скоростью в релятивистском случае
невозможно выделить какой-либо множитель в качестве коэффициента
пропорциональности между силой и ускорением, которому можно было бы
приписать смысл массы. Поэтому термины "релятивистская масса" или "масса,
зависящая от скорости" не могут быть корректно определены, и пользоваться
ими нецелесообразно. Остается единственная масса т - не зависящая от
скорости инвариантная величина.
4.42. * = I*- + (l - #' = ,#- Ь -
