Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
е < 1 и траектория имеет две ветви, уходящие на бесконечность при а =
±ао, где ао = (р2 - l)_1/2Ar ch(l/?) (рис. 4.14). При 8 < тс2 параметр г
> 1 и траектория имеет вид, изображенный на рис. 4.15.
Рис. 4.15
Случай 3. р = Ze2/1с = 1, а = 0. Вычислив интеграл заново, получим
уравнение траектории
2 Ze2/8 а2 - 1 ± т2с4/82
Траектория также представляет собой спираль, закручивающуюся вокруг
центра при а -> ±оо, но медленнее, чем в случае р > 1. Общий характер
траектории такой же, как в случае 2.
4.75. При 8 > тс2 (инфинитное движение)
At =
c\J 82 - т2с4
д/(г + ^)2 - - д/b2 - d2
Ze2m2c4 lnr + 6+ V/(r + ^)2-^2
(f2 - m2c4
b ± л/Ъ2 - d2
4.4. Ответы и решения
403
где
Ъ =
Ze2i
82 - т2с4 '
d2 =
2 J2
I С
82 - т2с4 (82 - т2с4)
Z2e4m2c4
2"4\2 '
4.76. В обозначениях задачи 4.74 имеем при р < 1
г =
- 1 + ? COS д/l - р2
а
Траектория имеет гиперболоидный характер (рис. 4.16). Две ее ветви уходят
на бесконечность при а = ±ао, где ао = (1 - р2)-1/2 arccos(l/6:). При р
<С 1 частица движется по гиперболе. Этот случай отвечает
нерелятивистскому движению, иСс. При р > 1
1 - ? ch д/р2 - 1
а
где ? < 1. Характер траектории такой же, как в первом случае. Две ее
ветви уходят на бесконечность при а =
= ±(р2 - l)-1/2ar ch(l/?). В случае р = 1
г =
2 Ze2/8
Рис. 4.16
1 - т2с4/82 - а2
Ветви траектории уходят на бесконечность при а = =Ь д/1 - т2с4/&2.
4.77. В случае притяжения
21с
Vl2c2 - Z2e4
- 1 I 7Г -
2 lc
Vl2c2 - Z2e4
arctg
vq\/12c2 - Z2e4 Ze2c
где г>о - скорость частицы на больших расстояниях от рассеивающего
центра.
В случае отталкивания
21с
Vl2c2 - Z2e4
arctg
v0Vl2c2 - Z2e4 Ze2c
4.78. Малым углам рассеяния отвечают большие прицельные расстояния s.
Поэтому, положив I = pos, где ро - импульс частицы при г -> оо,
404
Глава 4
можно наити интересующую нас зависимость угла рассеяния в от s предельным
переходом к большим значениям s (при этом, очевидно, I > Ze2/с) в общих
формулах, приведенных в предыдущей задаче. При выполнении предельного
перехода для обоих случаев, притяжения и отталкивания, получится один и
тот же результат:
= 7г - 2 arctg
vopos 2Ze2
Ze2
VoPoS
откуда 5 = 2Ze2/vqPqO и
t(0) =
> ds
ede
= 4
Ze2 voPo J 04
4.79. Ускоряющее электрическое поле:
i? - 1 <^Ф
a 2тгтс dt '
где г - радиус орбиты электрона, Ф - магнитный поток, пронизывающий
орбиту, а - азимутальный угол.
При передвижении электрона по орбите на расстояние г da поле Еа совершает
работу
5А = Ear da.
Ускорение электрона происходит на орбите постоянного радиуса г = =
ср/еНо, где Но - магнитное поле на орбите, перпендикулярное ее плоскости
и нарастающее со временем. Из условия dr = 0 находим dp = = pdHo/Ho.
Энергия электрона 8 = сл/р2 + т2с2 увеличивается на d& = = c2pdp/& = с2р2
dHo/SHo при увеличении поля на dHo. Очевидно, что 5А = d8. Используя
предыдущие равенства и соотношение с2р/8 = = v = rda/dt, получим после
интегрирования
Ф = 2Ф0,
где Фо = ттг2Но. Последним равенством и выражается искомое правило "2:
1".
4.80. Как следует из вида функции Лагранжа (4.46), энергия U
взаимодействия двух заряженных частиц определяется формулой
U = -§А -v-hep,
4.4. Ответы и решения
405
в которую нужно подставить заряд е\ одной из частиц и запаздывающие
потенциалы20 ср2, -А-2 поля другой частицы. Воспользовавшись разложениями
запаздывающих потенциалов по степеням времени запаздывания, получим
е2 . е2 d2R л e2v2 ^-R + ^W Al-^R'
где R - расстояние между частицами. Выбрав калибровочную функцию х в виде
v=
Х 2с dt'
произведем градиентное преобразование потенциалов. Новые потенциалы
принимают вид
1дх е2 л, л , " e2[v2 + (n-v2)n]
V2 = v'--cm = R' ^ = ^ + vx =-------------------ы---------.
где п = R/R. Отсюда для энергии взаимодействия получаем формулу Брейта
и = ецр'2 - ^Vi ¦ А'2 = |l - ^[vi ¦ V2 + ("1 • n)(v2 • n)]|.
Эта формула приближенно учитывает то обстоятельство, что сила,
действующая на одну из двух взаимодействующих частиц, находящихся на
расстоянии R друг от друга, определяется предшествующим положением и
состоянием движения другого заряда. Энергия и импульс передаются зарядами
полю и переносятся полем от заряда к заряду в течение промежутка времени
R/c. Частицы и поле образуют единую систему, и вследствие этого
невозможно точное описание движения системы взаимодействующих частиц без
привлечения степеней свободы поля.
4.81.
mivf mjvf m2v% m2v% eie2 eie2 r , , u "
L=- + -+ - + - - -+ ш["1."2 + ("1.п)(*2-п)].
4.82. В декартовой системе координат с осью Oz вдоль Н
miz(t) = miz{ 0) = const, mix(t) = Trii±( 0) cos (cot + a), miy(t) = mu_(
0) sin (cut + a), где cj = kH, \rrii(t)\ = |rn/(0)|.
20 Определение запаздывающих потенциалов см. в главе 5.
406
Глава 4
4.83. Мгновенно сопутствующая система из-за томасовской прецессии
является вращающейся. В ней согласно (4.66) при 7 " 1
Н' = \v х Е,
где Е - электрическое поле в лабораторной системе. Спиновый механический
момент в сопутствующей системе изменяется по закону
(I L="*•х н'
