Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
в - угол рассеяния. Его связь с прицельным параметром была найдена при
решении задачи 4.67 (формула 2). После использования указанной формулы и
предыдущего соотношения (2), а также интегрирования по s получим из (1)
выражение для силы:
При sm -> оо, что соответствует неограниченному пучку, величина А
расходится. Это объясняется дальнодействующим характером кулоновых сил.
Фактически в нейтральной системе любой заряд экранируется зарядами
противоположного знака, поэтому с данной частицей взаимодействуют только
те, которые пролетают от нее на расстоянии, не превышающем радиуса
экранировки. Поэтому в реальных условиях под sm нужно понимать радиус
экранировки (радиус Дебая в плазме, радиус нейтрального атома при
рассеянии частиц в неионизованном веществе и т. д.).
Величина А называется кулоновским логарифмом. Пренебрегая слабой
зависимостью его от скорости частицы, обычно считают А = const.
где /л = гага'/ (га + тг) - приведенная масса.
Полезно иметь в виду следующую электростатическую аналогию: приведенное
выражение можно записать в виде электрической силы & = qE, с которой
действует на заряд q = -47ге2е'2А/ц "электростатическое поле"
(2)
Avz = -2vsin2
(3)
где
,2
ее1
4.70.
E(v) = -gr&dv(p(v)
где
( ч [ f(v')d3v
Ч>(?) = / П----------7Г
J \v - v \
4.4. Ответы и решения
395
- "электростатический потенциал", удовлетворяющий уравнению Пуассона
4.71. Энергия пробной частицы не меняется при столкновениях с
неподвижными бесконечно тяжелыми частицами. Изменение среднего импульса
описывается уравнением
где S' - средняя сила. Ее удобно вычислять с помощью электростатической
аналогии, указанной в решении предыдущей задачи. Распределение по
скоростям частиц среды описывается функцией f(v) = п5(у). Поэтому cp(v) =
n/v, E(v) = nv/v3,
S имеет характер "силы трения", стремящейся уменьшить направленную
скорость частицы. Но это трение тем меньше, чем больше скорость частицы
ос l/v2, "падающее трение").
Интегрируя уравнение (1), найдем
где г = mv3/4тге2е'2пХ - характерное время потери частицей направленной
скорости.
Avcp(v) = -4тг f(v).
(2)
m v3
v(t) = exp -j
4.12.
0
При V < Vo,
396
Глава 4
4.73. На электрон, движущийся со скоростью v в среде неподвижных
однозарядных ионов, действует сила трения
(1) - 4тге4пХ у
m v3
(см. решение задачи 4.71). Отметим, что зависимость силы от скорости
можно получить и из следующих полукачественных соображений. Сила трения
есть потеря импульса частицей в единицу времени из-за столкновений. Если
среднее время между столкновениями т, а при каждом столкновении теряется
импульс порядка полного импульса частицы mv (это означает, что в
результате столкновения электрон отклоняется на большой угол), то
(2) 9 " Ш
При таком столкновении электрон подходит к иону на расстояние, на котором
его кинетическая энергия - порядка потенциальной:
(3)
2 г '
Это приближенное равенство позволяет оценить сечение столкновения
(л\ ~ 2 ^ 47ге4
(4) а ^ тгг ^ -2-j
mv
и среднее время между столкновениями
~ 1 ~ m2v3
(5) т ~~ -------------т.
ncrv Атгпе
Подставляя т в (2), находим, учитывая тормозящий характер силы
47г ne4v
(6)
mv3
что отличается от (1) отсутствием кулонова логарифма А. Но это
естественно: при оценке по формулам (2)-(5) мы не учитывали далеких
столкновений с малыми передачами импульса, вклад которых и дается
кулоновым логарифмом.
Усредним теперь формулу (1) по возможным скоростям электрона. Для этого
положим
(7)
v = и + vt,
4.4. Ответы и решения
397
где vt - тепловая скорость, и - скорость, приобретаемая под действием
электрического поля Е. При и <С vt можем положить в знаменателе выражения
(1) v3 ~ Vj,- В числителе же нельзя пренебречь и по сравнению с vt, так
как при усреднении по направлениям тепловой скорости получим vt = 0. В
итоге будем иметь абсолютное значение тормозящей силы
(8) ^=4тгш^А щ
mvj,
где v\ = ЗТ/га, если применимо распределение Максвелла (Т - температура в
единицах энергии). Таким образом, при и <С vt получаем & ос и. При и^> vt
полагаем v ~ и и получаем
(9) 3?"4тте1А;
ти
т. е. 9 ос 1/и2. Максимуму 9, очевидно, будет соответствовать значение и
~ vt\ при этом обе формулы (8) и (9) дадут одинаковое значение
(Ю) шах "
mv^
Примерный ход функции &(и) представлен на рис. 4.11.
Рис. 4.11
Если в плазме Е < ^max/e = Ed, то сила торможения при некотором значении
и, удовлетворяющем равенству &(и) = еЕ, превысит ускоряющую электрическую
силу еЕ, и электроны не смогут больше ускоряться.
398
Глава 4
Это - область значений поля Е, при которых имеет место обычный закон Ома.
В случае Е > Ев ускоряющая сила превышает торможение, и электроны
получают возможность ускоряться неограниченно17. Это явление получило
название "убегающих электронов".
Подставляя в формулу (10) максвелловское значение получим
(11) -Ш' 1,2 = tb-
Точный расчет дает близкое значение
(12) Ed = 0,214-%
Dz
4.74. Задачу можно решить различными способами, в частности, с помощью
уравнений движения в цилиндрических координатах, приведенных в ответе к
