Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
O11 (H) = У --GnN'° Щ-—, (22.29)
~Njjakz(i, N, о, H)kz(i, N', о, Н)
где величина Gyjya (?, Щ различна для разных механизмов рассеяния и содержит всевозможные константы и плавную функцию от магнитного поля H и границы Ферми При получении (22.29) мы учли, что рассеяние носителей происходит без переворачивания спина, т. е. о' = о.
Видно, что O11(H) имеет особенность, т. е. становится максимумом при выполнении условий * )
kz (?, N, о, H) = О или кг (?, N', о, Н) = О (22.30)
Для того чтобы найти явный вид этих условий экстремума, мы должны исходить из определенного закона дисперсии. Рассмотрим известные нам законы дисперсии. В случае простого параболического закона дисперсии без учета спипа (21.11) условие максимума (22.30) имеет простой вид
S (Hn) = (N + V2) mN, N ф 0, (22.31)
т. е. при значениях магнитного поля Hn, когда граница Ферми совпадает с одним из уровней Ландау, O11(H), и, следовательно, р (H) достигает максимума; причем в формуле (22.31) Qw - ellN/mc.
Из (22.31) легко получим .(l///jV)max — соответствующие ZV-му максимуму сопротивления:
(1 /ЯЛ:)таї = (N + V2) (еТі/mct, (Hn)), N Ф 0. (22.32)
Отсюда следует, что если уровень Ферми от магнитного поля не зависит ?(//) = ?(0), то (22.29) является периодической функцией 1ZH, а положения максимумов и период осцилляции A(l/H) = (l/HN+1)max-(l/HN)m™ равны
(1/Ялг)таі = (N + 1/2) he/mcl (0), А (1 /Я) = eTi/cmt (0), (22.33) Следовательно, эти величины определяются только концентрацией носителей тока п, так как S(O) =(h2/2m) (Зл2/г)2/3.
*) Следует заметить, что фактически Olx(H) при выполнении условий (22.30) не обращается в бесконечность, так как всегда существует тот или иной механизм, ограничивающий высоту осцилляционного пика. Например, тепловое размытие уровней или конечность времени жизни электрона в данном квантовом состоянии, обусловленная рассеянием, смазывает особенность плотности состояний. Поэтому мошно считать, что в зависимости Он (H) имеются пики, но всегда выполняется неравенство (22.25), и следовательно, в сильном поле, согласно (22.28), максимум O11(H) и сопротивления р (H) совпадают.
252" Отметим, что измеряя период осцилляций А (І/Н), как видно из (22.33), можно определить произведение mt;(0), следовательно, найти площадь экстремального сечения Ферми-поверхности Sext = = 2nmt, (0). Тогда из (22.33) для <Jest получим
Sexi = 2ле% [сА (1 /ЩГ1. ¦ (22.34)
Эта формула, полученная в частном случае для сферы Ферми, оказывается справедливой для любого закона дисперсии, если под Sext понимать площадь экстремального сечения поверхности Ферми плоскостью, перпендикулярной направлению магнитного поля [10]. В общем виде она называется формулой Лиф-шица — Онзагера.
Из (22.32) видно, что если уровень Ферми зависит от магнитного поля, то осцилляции сопротивления, вообще говоря, не строго периодичны. Для того чтобы учесть влияние зависимости t,(H) на положения максимумов и на период осцилляций, (21.61) подставим в (22.32). Тогда для положения N-го максимума получим
(1/Я1?)тах = еП/cmt, (0) ay, (22.35)
где
(TV N 2/3
VkJ , N = і, 2, 3, ... (22.36) •
Используя ? (0) = (%2/2т) (Зя2и)2/3, условие (22.35) можно переписать в виде
(1/Я*)тах = (2е/%с) (3n2n)~2/saN, N ф(). (22.37)
Из (22.36) для последовательных значений числа aN получим: at = 1,30; й2 = 2,34; O3 = 3,35; a4 = 4,37; ... Видпо, что.разность между двумя последовательными числами почти одинакова и aN+i — ая « 1. Это показывает, что и при учете зависимости ?(#) периодичность осцилляций не нарушается, а период (22.33) также почти не меняется. Однако учет зависимости уровня Ферми -от магнитного поля ? (H) положения максимумов смещает в сторону больших значений магнитного поля. Это видно, еслп сравнить численные значения aN в (22.35) с (N + 1/2), входящий в (22.33).
Положения максимумов осцилляций Шубникова — де Гааза определяются (22.37) в том случае, когда электронный газ полностью вырожден и тепловое размытие границы Ферми не учитывается. Если же тепловое размытие больше, чем ширина уровней Ландау, обусловленная рассеянием электронов, то при определении положений максимумов р (H) следует учесть это размытие [20]. Для этого следует точнее вычислить последний член в сумме (21.47) N'=N, когда находим связь уровня Ферми ? = (2N'+ 1) \іН с концентрацией п. При полном вырождении
253" этот член равняется нулю. Когда полное вырождение отсутствуй ет, последний интеграл в сумме (21.47) следует вычислить в пределах от B1(JV) до не заменяя (—д/0/де) 6-функцией. JIe^-ко видеть, что этот интеграл равен Vk0TFu2(O), где F1/2(0) ^ 0,5 — однопараметрический интеграл Ферми.
В результате из (21.47) имеем
г KT
(22.38)
Поскольку к№Т ^.UQn, то в поправочном члене в (22.38) вместо Hn достаточно подставить его значение (22.37) в нулевом приближении. Тогда для положения iV-ro максимума сопротивления получим .
HN = ^ (Wnf
(22.39)
Видно, что учет теплового размытия границы Ферми смещает положения максимумов р (H) в сторону слабых магнитных полей.
