Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
237"Подставляя это значение в (21.54), получим (2т I3'2 N
п = Hjr ^V 2 I2 (N - N') (21.60)
31 Я N'=0
что дает связь между границей Ферми ? (0) при H = 0 и границей Ферми для магнитных полей Hn, -при которых она совпадает с уровнем Ландау с номером N:
UHn)=. \+1/\2/a-g(0), Яф 0. (21.61)
-
Отсюда можно оценить g(^)==(3/2)1/s?(0)« l,146g (0)', Z(Hi) & ~ 1,058g (0) и т. д. Легко показать, что для больших N соотношение (21.61) дает: % (IIn) ~ ? (0). Поведение функции ?(#) с учетом (21.55) схематически показано на рис. 28. Видно, что граница Ферми является пульсирующей функцией магнитного поля: граница Ферми немного расширяется каждый раз, когда пересекает ее какой-нибудь уровень Ландау. После того как все уровни Ландау, кроме нулевого, выходят за границу Ферми, т. е. UH) < < ЗцЯ, при дальнейшем увеличении магнитного поля граница Ферми монотонно растет и асимптотически приближается к нулевому уровню Ландау с энергией є0 = \іН.
В общем случае, при любой степени вырождения электронов проводимости зависимость химического потенциала ? от магнитного поля H и температуры для заданной концентрации п определяется уравнением (21.46). Для того чтобы написать это уравнение в явном виде необходимо исходить из конкретного закона дисперсии (21.11), (21.20) или (21.31). Ради простоты мы здесь используем простой параболический закон дисперсии без учета спинового расщепления (21.11). Тогда суммирование по о в (21.46) дает множитель 2 и уравнение (2І.46), в силу (21.11), принимает вид
e^IM--"^+1'*?)- <2,-62>
где Fi/2 — однопараметрический интеграл Ферми (4.33) с индексом г =1/2, а т] = ^(Я, Т)/каТ — приведенный химический потенциал электронов проводимости в магнитном поле.
Если использовать закон дисперсии (21.20) или (21.31) в уравнении (21.46), то можно исследовать влияние спинового расщепления на статистику электронов проводимости. Для параболической зоны (21.20) такое исследование проведено-в работе [7]. В этом случае выражение для концентрации электронов про-, водимости (21.46) имеет вид
238"Используя асимптотику интеграла Ферми (4.37) и (4.38), из (21.62) или (21.63) можно получить все частные результаты. В общем случае уравнения (21.62) и (21.63) можно решить численно и- найти график зависимостей 5 = 5 (Н, Т, п).
5. Магнитное вымораживание носителей. При определении критерия вырождения выше мы предполагали, что концентрация электронов проводимости не зависит от магнитного поля, и считали, что п = const. Однако в присутствии квантующего магнитного поля п может измениться: с ростом магнитного поля п уменьшается, т. е. число электронов, локализованных на примесных уровнях, с ростом магнитного поля увеличивается. Это явление носит название магнитного «вымораживания» носителей.
Одіюй из причин вымораживания носителей является то, что в магнитном поле изменяется энергетический спектр: дно зоны проводимости поднимается на величину (ц— \х0)Н, а донорный уровень расщепляется на два подуровня. Рассмотрим для примера прпмесь одновалентных доноров,
электроны которых находятся в s-состоянии. Основной уровень электрона в локальном центре с энергией (—е<г) в магнитном поле расщепляется. Величину этого расщепления можно найти в рамках водородоподобной модели примесного атома. Однако для простоты предположим, что энергии расщепленных подуровней равны -Edip0Ar (см. рис. 29). Легко вычислить число иони-
-V 'PoH
-:-=-.-Sa
Рис. 29. Схема изменения спектра электронного полупроводника в магнитном поле
зованных донорных атомов
Nd
А + ехр
V
V
при температуре -1/2 /
+ [А + ехр
которое равно
' V
где Nd — концентрация донорных примесей, а
А = 1 + 2 ехр ((є* + t)/k0T) ch (ц0Hfk0T).
(21.64)
(21.65)
Допустим, что магнитное поле сильное и в зоне проводимости реализуется квантовый предел. Тогда в (21.63) достаточно оставить всего два члена: N = 0, а = —1/2 HmN = O, о = +1/2. В этом случае концентрация электронов проводимости
п =
(21.66)
% (ZnR)'
где т|* = '(1/*,Г) [?(#)-(ц±ц.)#1-
' Из уравнения нейтральности п = pd, используя (21.64) w (21.66), можно численно найти химический потенциал а затем
239"из (21.66) определить концентрацию электронов проводимости для различных магнитных полей при заданной температуре и параметрах полупроводника ed и Nd. Такой расчет показывает, что действительно с ростом H концентрация электронов проводимости уменьшается [7].
Другой механизм вымораживания носителей связан с сжатием волновых функций валентного электрона примесных атомов в магнитном поле. В работе [8] рассмотрена водородоподобная модель примесных атомов и показано, что в сильном магнитном поле волновая функция основного состояния из сферической формы превращается в вытянутый эллипсоид с большой осью в направлении магнитного поля Н. Волновая функция сжата в плоскости, перпендикулярной к направлению Н, среднее расстояние электрона от ядргГ" уменьшается и энергия ионизации возрастает. Вымораживание электронов проводимости было обнаружено в работе [9] при исследовании эффекта Холла в области низких температур на образцах w-InSb.