Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
X0 = - %ky!mnQ — еЕ ImnQ2. (22.4)
Тогда для собственных значений гамильтониана (22.3), т. е. для энертии электрона в скрещенных полях в квантовом состоянии a = (Ar, ку, kz), получим
e% = B(N,kz) + eEx0, (22.5)
где є (TV, A'z)=ea — энергия электрона в магнитном поле (21.11), a X0 дается формулой (22.4).
Для вычисления электропроводности Титейка полагает плотность тока вдоль направления электрического поля равной
7* = - * 2 2 2 {Waa'fa (1 - fa') ~ Wa'of а' (1 ~ fa)}, (22.6)
NN' hzk'z х;> " х0>0
где Waa' — вероятность перехода электрона из состояния а в состояние а' под действием рассеивающего потенциала, fa = = /(еа) — равновесная функция распределения электронов.
Выражение для плотности тока (22.6) основано на квазиклассическом представлении, что электроны, переходящие из квантового состояния а(х0<0) в состояние ос' (х0 >. 0), пересекают плоскость х = 0 слева направо. Первое слагаемое в (22.6) дает число электронов, пересекающих плоскость х = 0 слева направо в единицу времени в результате рассеяния, а второе представляет собой поток электронов через эту же плоскость справа налево.
Разлагая (22.6) по электрическому полю E, в линейном приближении получим Jx = O11E. Таким способом Титейка удалось определить явный вид Он путем непосредственного вычисления плотности тока. Титейка рассмотрел вырожденный электронный газ (металл) с квадратичным изотропным законом дисперсии и вычислил магнетосопротивление в случае рассеяния электронов на акустических фононах только в квантовом пределе, т. е. когда все магнитные осцилляторы Ландау находятся в основном невозбужденном состоянии с N = 0; тем самым осцилляции маг-нетосопротивления, наблюдаемые впервые Шубниковым и де Гаазом [12], выпали из рассмотрения.
Давыдов и Померанчук [13] применили метод ,Титейка к полуметаллу— висмуту и-в случае рассеяния на точечных дефек-
245"тах (короткодействующий потенциал) решетки рассмотрели ос-цилляции магнетосопротивления.
Поскольку метод Титейка, с помощью которого рассчитан -,эффект, чисто квантового характера, основывается на некоторых квазикласспческих -наглядных представлениях, следовало его обосновать, исходя из общих принципов квантовой механики и статистической физики. Это было сделано в работе Адамса и Гольд-стейна [14] и несколько иным способом в работе Кубо, Хасегавы и Хашицуме [15].
Исходя из решения уравнения для матрицы плотности р Адаме и Гольдстейн [14] построили последовательную квантовую теорию поперечных гальваномагнитных явлений в полупроводниках. В первом неисчезающем приближении по рассеянию они получили следующие выражения для недиагональной
o12 = есп/Н \ (22.7)
/
и диагональной компоненты тензора электропроводности [14]
Ci1 = (е2/2) 2 (- dfjdsa) (ха, - ха)- Waa,, (22.8)
оа'
где
Waa, = (2к/П) 21 Fq I21 (ехр (Iqr)W Iа б (еа, - ев) (22.9) ч
— вероятность перехода электрона из состояния а в а'.
Формула (22.8) совпадает с выражением, предложенным Титейка [11, 13]. При полях Й?2<Сє (иеквантующие магнитные поля) для заданного механизма рассеяния и закона дисперсии результат вычисления по формуле (22.31) совпадает с соответствующим результатом кинетического уравнения (13.23) при Qt > 1.
Отметим, что простые выражения для компонент тензора проводимости (22.7) и (22.8), как было показано в работе [4], справедливы и в случае непараболической зоны.
2. Рассеяние носителей заряда в квантующем магнитном поле. Как видно из (22.8), для вычисления явного вида диагональной компоненты Оц надо знать вероятность перехода а а' за счет "рассеяния носителей на фононах или примесях. Теория рассеяния в борновском приближении при отсутствии магнитного поля, точнее, когда магнитное поле на процесс рассеяния пе влияет, изложена в §§ 10 и 11. Здесь рассмотрим, как изменяются результаты этих параграфов в квантующем магнитном поле.
Рассеяние на фононах. Потенциал рассеяния носителей на акустических, пьезоакустических, неполярных и полярных оптических фононах приведены в (11.27), (11.97), (11.49) и (11.72), соответственно. Вычисление вероятности перехода такое же, как и в § 11, только надо учитывать, что в квантующем магнитном поле квантовые состояния характеризуются квантовыми числами a = (N, ку, kz), а движение электрона проводимости описыва-
246"ется волновой функцией (21.12). Поэтому вместо матричного элемента (11.29) в квантующем магнитном ноле имеем
<«' I ехр (±iqr) I а> = JW8 . 8, ' , (22.10)
hy,hy±qy kz,kz±qz
где учтено, что волновые функции (21.12) нормированы на единицу объема и введено обозначение
Jnn' = j фл" (х — Xa') ехр (± iqxx) (pN (х — ха) dx. (22.11)
Поступая также, как и в § 11 и учитывая (22.10), в результате для вероятности перехода а ->~ а', благодаря рассеянию на фононах, в квантующем магнитном поле получим обобщенное выражение
Waa' =I1W (Q) 1 JNN, I2 (A+*, (q) + А~а, (q)), (22.12) і
где
А&, (q) = U3 + 4 + 4-) ~ + Ю б ' ь , « ' • (22.13)
\ ^ б 1 hy,ky±qy hz,hz±qz
Формула (22.12) является общей для всех типов фононов, только множитель w(q) различен для каждого типа фононов: для акустических фононов