Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
Для определения явного вида недиссипативных компонент терыомагнитного тензора в поперечном квантующем магнитном поле, можно предложить другой подход [71, 72]. Показано, что основываясь на результатах кинетического уравнения в классически сильном магнитном поле и, используя статистический принцип соответствия, сформулированный ниже, непосредственно можно найти недиссипативные компоненты термомагнитнощ тензора в поперечном квантующем магнитном поле. При таком подходе отпадает вопрос о законности разложения (23.1) равно-.вёсной функции распределения" [58] и привлечении границ [60, 63] для получения правильных выражений недиссипативных термомагнитных явлений в квантовой области, которые в сущности описывают объемные свойства проводника. Закон дисперсии носителей тока предполагается изотропным.
Конечная цель теории явлений переноса заключается в нахождении компонентов тензоров проводимости Oft, ?iA И Kikj которые связывают возмущающие силы (электрическое поле и градиент температуры) с плотностью тока (13.10) н потока энергии (13.11). Обычно эта задача решается на основе кинетического уравнения. В произвольном поперечном неквантующем магнитном поле для электронного проводника с произвольным изотропным законом дисперсии компоненты этих тензоров при квазиупругих механизмах рассеяния (т-приближение) даются формулами (13.23) — (13.25), которые можно представить в виде
Oift = ие2<ф,А>кл, ?a = — (гее/Г) < (є — ?)ф.-,Лл, (23 7)
Kis = (п/Г)<(е-?)2ф*>кл,
где '
фй = (x/m) vi~i/(1 + V2), і ^ к, к = 1, 2, (23.8);
265" а знак усреднение <. ..>кл означает
ое
<А (е)>кл = (1/3к*п) j (- dfjde) к3 (є) А (є) de, (23.9)
где n — концентрация электронов проводимости.
Из (23.7) видно, что магнитное поле в тензоры проводимости входит только через безразмерный параметр v = Qt, где Q = = еН/тс — циклотронная частота, т — время релаксации. Однако в магнитном поле существует еще один безразмерный параметр
Vkb = Ш/е,. . (23.10)
где є — характерная энергия электронов проводимости: если электронный газ невырожден є = k0T, а если сильно вырожден — є есть граничная энергия Ферми
Выражения тензоров проводимости (23.7) справедливы в области магнитных полей vKB < 1, но v произвольно. В частности, они остаются в силе, когда v > 1, но vras < 1. В этом случае из (23.7) в первом неисчезающем приближении по параметру v"1 « 1 имеем
не2 / т \ есп ... /00 ...
°11=^г\тАи' O12 = -^D, (23.11)
= f [іг] <<є - o2 Т>КЛ' "і. = f [ж) <(є- (23-13)
Если на основе первых принципов квантовой теории можно было бы найти выражения этих тензоров в квантовой области, т. е. для произвольного значения параметра Vm, то при vKB 1 они должны были бы перейти в (23.11) — (23.13). Но это можно сделать только в электрическом поле и найти явный вид O11 и а12 в произвольном квантующем магнитном поле на основе решения для матрицы плотности [14] (см. § 22).
Однако заметим, что для определения явного вида недиагональных компонент тензоров, как видно из (23.12) и (23.13), достаточно найти соответствующую формулу усреднения по энергиям в квантовой области, которая при vKB О переходит в (23.9).
Формулу усреднения по энергиям, соответствующую (23.9), в квантующем магнитном поле можно найти из сойоставления непосредственно, согласно (21.42), вычисленных выражений для энтропии электронного газа единицы объема в квазиклассическом и квантовом случаях: ^ '
5(0) = (п/Г)<е-?>нд, S{H) = {n/T)<e-t,>KB, (23.14)
266" соответственно, причем символ усредения <...>„ обозначает
OO
<А =-? 2 I (- 4г)к* ^ N>а' а (23-
nvky eq
15)
где єа=Єо(Л^, а, Я) есть корень уравнения kz(e0, -/V, Я) = О, Li — соответствующие линейные размеры образца.
При получении (23.15) из (21.40) и (21.42) было предположено, что магнитное поле H направлено вдоль оси z, и состояния электронов определяются квантовыми числами (к0, кг, N, о), где N = О, 1, 2, ...— осцилляторное, а а = ±1/2 — спиновое квантовые числа. Кроме того учтено, что для сферически-симметричной зоны є является четной функцией kz. Это приводит к появлению множителя 2 во всех случаях, когда интегрирование по dkz заменяйся интегрированием по de.
Отметим, что формулы усреднения (23.9) и (23.15) нормированы на концентрацию п и поэтому среднее значение постоянной величины равно самой себе.
В пределе vKB -»- 0 спиновым расщеплением можно пренебречь и сумму по N заменить интегрированием. Тогда формула усреднения (23.15) для заданного закона дисперсии сразу переходит в (23.9), следовательно, второе выражение в (23.14) совпадает с первым. Очевидно, такой подход имеет место и тогда, когда усредняется не только энергия є, а любая явная функция от е.
Таким образом, можно сформулировать следующий статистический принцип соответствия: если некоторая термодинамическая или кинетическая величина в квазпклассическом случае выражается через явную функцию от энергии, усредненную по формуле (23.9), то в квантовой области магнитного поля данной величины соответствует такая же функция, только усредненная по формуле (23.15), т. е. достаточна замена
