Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
18 Б. M. Аскеров 262 стической силы, пропорциональной градиенту температуры, и эту статистическую силу (см. § 9) невозможно включить в гампльто* ниан, следовательно, нельзя найти часть матрицы плотности, связанную с градиентом температуры. Поэтому такой прямой путь вычисления термомагнитного тока отпадает.
В принципе существует еще один способ нахождения тензора ?ift. Можно вычислить плотность потока энергии в электрическом и магнитном полях на основе метода Адамса — Гольдстейна [14], определить явный вид тензора ^ik [см. (7.1)], а затем, применяя соотношение Онсагера (7.4), найти тензор ?w. Такие попытки [58] не дали результата, так как полученное выражение для потока энергии не удовлетворяло теореме Нернста — поток энергии при абсолютном нуле оставался конечным. По-видимому, это связано с тем, что в квантующем магнитном поле однозначт ное выражение для оператора потока энергии записать трудно.
Таким образом, необходимо было искать обходные пути в квантовой теории термомагпитных явлений. В этом параграфе остановимся на двух таких методах.
1. Вычисление термомагнитных токов. Первая попытка непосредственно вычислить термомагнитный ток в квантующем поперечном магнитном поле была сделана в работе [58]. В этой работе предполагалось, что при слабых пространственных неодно-родностях, когда T и ? остаются почти постоянными на протяжении магнитной длины R, X0 = Xa = -RiJcy, около которого локализован электрон в квантовом состоянии a = (N, к,„ fcz), можно отождествлять с координатой X, т. е. считалось, что T и химический потенциал входящие в распределение Ферми, являются функциями Т(ха) и %(ха): f((za — t,(xa))/k0T(xa)). Эту функцию можно представить в виде разложения около точки х:
где Т = Т(х), ? = ?(*), и = f((Ea-\)/k0T).
Подставляя это выражение в (22.6) и приняв рассеяние упругим (ear = &а), для плотности тока вдоль градиента температуры, получим
U = — ?nVx?1 =
= - (е/2Т) 2 Wa*' (dJa/dsa) (Ea - ?) (ха, - xaf VxT, (2.32)
аа'
что сразу дает выражение для диагональной компоненты
Множитель 2 в знаменателе обусловлен тем, что суммы по а и а вычисляются как по положительным, так и по отрицательным значениям ха и ха>.
Выражение для тока jx (23.2), представляющее собой обоб? щение формулы Титейки [11] на случай, когда в образце имеется градиент температуры, было получено из некоторых наглядных соображений на основе принципа локального термодинами-
263" чесного равновесия. В работе [59] авторы пытались более строго обосновать формулу (23.2).
Для определения плотности поперечного (перпендикулярного градиенту температуры и магнитному полю) недиссипативного тока можно использовать его квантовомеханическое выражение
j = — (еЩ2т) і (ij)Vij)* — t|)*Vi|)) — (є*Ітпс) Аі|л|)*, (23.3)
которое, согласно (21.2) и (21.5), для поперечной компоненты дает
/«> = _ eQ (X _ ха) Cp2v (х - ха). (23.4)
Для того чтобы получить среднее зназение плотности недиссипативного поперечного тока, необходимо производить статистическое усреднение (23.4) с функцией распределения (23.2). В результате подучим [58]
U = - ^2 2 (Ar + 1/2) VX+ §¦). (23.5)
Здесь произведено интегрирование по ха в пределах от — °° до причем результат оказался не зависящим от х; H =
= (HcIeH)112 — магнитная длина.
Однако следует отметить, что выражение для плотности тока (23.5) не удовлетворяет известному соотношению Эйнштейна, Действительно, как видно из (22.23) и (23.5), коэффициенты при Ex и ((—1/е) (dt,/dx)) не совпадают.
Правильное выражение для поперечного недиссипативного термомагнитного тока было получено Образцовым [60]. Было показано, что необходимо учесть вклад в ток, вносимый электронами, движущимися по незамкнутым орбитам, вблизи границы образца. В результате было получено следующее правильное выражение для плотности поперечного тока jy, связанное с градиентом температуры [60]:
/, = -?i»V = (cS/tf)VJ\ (23.6)
где S — энтропия электронного газа (21.42).
Формула (23.6), связывающая кинетический коэффициент ?u с. термодинамической функцией S полупроводника, была выведена Образцовым [60] для квадратичного закона дисперсии. Впоследствии было показано, что формула (23.6) справедлива и для полупроводников с непараболической» зоной [61], а также и для многоэллипсоидальных полупроводников [62].
Квантовой теории поперечных термомагнитных явлений в полупроводниках, кроме упомянутых выше, посвящено довольно много работ [63—70].
Отметим, что для вычисления недиссипативных термомагнитных коэффициентов в поперечном квантующем магнитном поле можно предположить другой подход [71, 72].
264" 2. Недиагональные компоненты термомагнитного тензора в поперечном квантующем магнитном поле. Построение квантовой теории термомагнитных явлений — вычисление плотностей тока и потока энергии, связанных с градиентом температуры, в квантующем поперечном, перпендикулярном градиенту температуры магнитном поле, как было указано выше, встречает принципиальные трудности. В этом случае кинетическое уравнение неприменимо и неизвестно, исходя из первых принципов, как ввести в теорию градиент температуры, который создает возмущающую статистическую силу в системе носителей заряда. Поэтому для вычисления плотности термомагнитного тока используются некоторые наглядные соображения и разложение равновесной функции распределения (23.1) для электронов проводимости, считая, что температура, входящая в эту функцию, зависит от координат [58]. Кроме того, чтобы выполнялось соотношение Эйнштейна при вычислении поперечного недиссипативного тока, перпендикулярного градиенту температуры и квантующему магнитному полю, учитывается поверхностный ток [60] или используются граничные условия для вектора диамагнитной намагниченности электронов проводимости [70].
