Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
и длина волны де Бройля носителей где є — харак-
терная энергия электрона проводимости. Трудно построить универсальную теорию явлений переноса, которая была бы применима при любых соотношениях между указанными параметрами.
Если длина волны де Бройля намного меньше каждого из трех параметров, т. е. %<. г, I, d, то теория носит классический характер її основным уравнением является кинетическое уравнение.. При этом, если d > I, то взаимодействие носителей с границами образца молено пренебречь и все кинетические свойства проводника определяются рассеянием в объеме. Такая ситуация рассмотрена в третьей и четвертой главах книги. Отметим, что в этом случае отношение Ur = Qr может быть любое. Обобщению теории на случай, когда не только Ur любое, но и Ud — любое, посвящены первые два параграфа данной главы.
Когда нарушаются неравенства, приведенные в начале предыдущего абзаца, теория должна быть квантовой. Например, в случае X ^ г магнитное поле является квантующим, что было рассмотрено в шестой главе. В случае % ^ I обычная зонная теория проводимости неприменима и поэтому была создана кваптовая теория малой подвижности, что в данной книге пе рассматривается. Когда К ^ d, имеет место размерное квантование движения носителей заряда. Краткому изложению этого случая посвящен заключительный параграф книги.
§ 24. Решение кинетического уравнения в пленках
с учетом граничных условий
Широкое применение тонких пленок в современной технике, а также наблюдение новых физических явлений, связанных с ограниченными размерами образца, привели к их интенсивному
278" исследованию [1—6]. Эти новые явления, которые не имеют места в массивных образцах могут служить источником дополнительных сведений об основных физических свойствах кристаллов: о структуре энергетических зон, о механизмах объемного и поверхностного рассеяния носителей тока и т. д.
Понятие «тонкая пленка» означает, что ее толщина сравнима с величинами размерности длины, характерными для данного явления. Эффекты, возникающие в пленках, можно разбить на две группы: квантовые и классические размерные эффекты. Квантовые размерные эффекты, как было отмечено выше, имеют место, когда толщина пленки становится порядка длины волны де Бройля носителей заряда [7, 8].
Классические размерные эффекты возникают, когда хотя бы один из параметров движения носителей заряда, имеющих размерность длины, становится порядка толщины плепкп плп характерной длины изменения потенциала вблизи поверхности (деба-евской длины). К таковым можно отнести длппу свободного пробега по импульсу, длину остывания, длину биполярной диффузии, длину по междолинному рассеянию и т. д. В зависимости от того, какой из этих параметров становится соизмеримым с толщиной пленки наблюдается тот или иной размерный эффект.
Здесь мы рассмотрим размерные эффекты только на длине свободного пробега по импульсу, т. е. учтем влияние поверхностного рассеяния на явления переноса в полупроводниковых пленках.
Предполагается, что длина волны де Бройля
KCr, l,d, (24.1)
по при этом отношения Ilr и Ud могут принимать любые значения. В силу (24.1) кинетическое уравнение применимо.
1. Кинетическое уравнение и граничные условия. Размерные эффекты, связанные с длиной свободного пробега, теоретически изучаются в течение многих лет. Первая последовательная теория проводимости в пленках была предложена Фуксом [9] на основе' модели свободного электронного газа с параболическим изотропным законом дисперсии при отсутствии магнитного поля. Поверхностное рассеяние учитывалось с помощью граничных условий, налагаемых на функцию распределения носителей.
Зондгеймер [10] распространил теорию Фукса на гальваномагнитные эффекты в поперечном магнитном поле и впервые предсказал осцилляции сопротивления в неквантующем магнитном поле. Работы Фукса и Зондгеймера были обобщены на случай рассеяния от двух поверхностей с разной зеркальностью в [И, 12].
Теория Фукса [9] развивалась также в направлении, учитывающем конкретную структуру энергетических зон [13—'18]. В отличие от металлов размерный эффект в полупроводниках необходимо анализировать с учетом приповерхностного пространственного заряда, т. е. изгиба зон. Его впервые учел Шриффер
279" [19] в предположении сферичности изоэпергетической поверхности, постоянства времени релаксации и полностью диффузного характера поверхностного рассеяния для полубесконечной пластины. Далее, эта теория развивалась в [20—23] с учетом зависимости т(е) и частично зеркальности поверхности пленки. Теория гальвапомагпитных явлений в пленках развивалась также в работах [24—29], а термоэлектрические и термомагнитные явления рассмотрены в [30—50].
В предположении (24.1), в основе теории явлений переноса лежит кинетическое уравнение. В стационарном случае df/dt = 0 оно приведено в (8.11), которое можно записать в виде
Wr/--f (е0 +-L [vH]) Vk/= /(/), (24.2)
где I (/) — интеграл столкновений.
Когда размеры образца намного больше длины свободного пробега, то число носителей тока, взаимодействующих с поверхностью, намного меньше общего числа носителей, поэтому I (/) определяется рассеяпием на различных дефектах в объеме пли на фононах. Если же размеры кристалла порядка длины свободного пробега носителей заряда, то взаимодействие носителей с поверхностью становится существенным и это, вообще говоря, нужно учитывать в интеграле столкновения. Предполагая независимость рассеяния носителей в объеме и на поверхности, правую часть уравнения (24.2) можно представить в виде
