Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
/(/)='. (П + Ш, (24.3)
где I0 (/) и Is (/) — есть интегралы столкновения, определяемые объемным и поверхностным рассеянием, соответственно. Известно, что при выполнении определенных условий (см. § 9) можно ввести транспортное время релаксации для объемного рассеяния т(е), т. е. /„(/) можно представить в виде
M/) =-/Л (Є), (24.4)
где J1 = / — /о — неравновесная часть функции распределения.
Что касается /»(/), то его, вообще говоря, также надо записать через вероятность рассеяния на различных поверхностных дефектах, как в (8.10), и выразить через время релаксации поверхностного рассеяния, подобно (9.6). Однако такой подход приводит к сложному интегродифференциальному уравнению. Более того, не всегда можно описать поверхностное рассеяние замкнутым выражением вероятности перехода, и точное рассмотрение поверхностного рассеяния представляет собой более трудную задачу, чем точное рассмотрение объемного рассеяния.
Поэтому в правой части уравнения (24.2) оставляют только интеграл объемного столкновения / (/) = /о (/), а поверхностное рассеяние учитывают с помощью граничных условий, налагаемых на функцию распределения.
280" Впервые граничные условия к кинетическому уравнению были записаны Фуксом [9] с помощью введения параметра зеркальности р, имеющего следующий смысл: параметр зеркальности показывает, что р-я часть электронов, падающих на поверхность, отражается зеркально, следовательно, (1 — р)-я часть рассеивается поверхностью диффузно, или р есть вероятность того, что электрон от поверхности отразится зеркально.
Если ось Z направить перпендикулярно плоскости пленки, толщиной d, то граничные условия Фукса можно записать в виде
/+ (0, kz) = pf~ (0, —kz) + (1 — р)/о, z = 0,
f-(d, кг) =Pf+(d, ~kz) +(l-p) f0, Z = d.
Здесь предполагается, что диффузно отраженная часть электронов описывается равновесной функцией распределения /0, а знаки ± относятся к электронам проводимости с kz> 0 и kz < 0, соответственно; полную функцию распределения электронов в пленке можно представить в виде
/(k, Z) =/о (к) +Л (k, Z). (24.6)
* Тогда из (24.5) получим граничные условия для неравновесной части функции распределения:
/і+(0,^) = р/Г(0, -kz), z = 0,
-і- (24.7)
Z1 (d, kz) = PfZ (d, — кг), Z = d.
Поскольку граничные условия Фукса (24?5) или (24.7) являются феноменологическим описанием поверхностного рассеяния, то было бы лучше вывести их из основных предпосылок, используемых в теории отражения и рассеяния электронных волн на поверхности кристалла [36—41].
Исходя из требования обращения в нуль суммарного потока через границу пленки, при выполнении определенных условий, можно связать параметр зеркальности р с вероятностью перехода электрона из состояния k_(&z, ку, —kz) в состояние к+(/сх, ку, kz), благодаря рассеянию на поверхностных дефектах, следующим образом [41]:
P = 1 - гАт f dk+W (k-, k+), (24.8)
I 17Z I J
где рассеяние считается упругим.
Простейшим типом дефектов поверхности являются хаотически расположенные точечные или заряженные центры рассеяния [42]. Задача о рассеянии электронов на шероховатостях поверхности решалась в [43, 44]. Кинетические эффекты в пленках с шероховатыми поверхностями и влияние размера шероховатости на них исследовались в [45, 46].
Отметим, что введение параметра зеркальности с помощью (24.8) аналогично введению транспортного времени релаксации для объемного рассеяния.
281" Граничные условия (24.5) или (24.7) предполагают, что значение р одинаково для обеих поверхностей. Однако практически трудно получить пленку с идеально одинаковыми поверхностями. Обычно пленка контактирует с изолирующей подложкой с одной стороны поверхности, с атмосферой или защитным слоем, с другой, и поэтому параметр зеркальности будет иметь разные значения для двух поверхностей: и р2. Лукас [11] обобщил граничные условия Фукса (24.7) на случай пленки с различными поверхностями її вычислил проводимость без магнитного поля. Тогда вместо (24.7) имеем граничные условия
ft (0, Az) = PiZT (0, -Az), 2 = 0, /Т (d, kz) = р2ft (d, — kz), z=-d,
+ /, ,, , (24-9)
для неравновесной функции распределения в пленках с параметрами зеркальности рк и рг на поверхностях z = 0 п z = d, соответственно.
2. Решение кинетического уравнения в пленках с произвольной изотропной зоной. Как видно из (24.8) параметр зеркальности поверхности в общем случае является функцией энергии падающего электрона її угла падения р = р (k). Таким образом, в этом приближении классическая теория явлений переноса в пленках сводится к' решению кинетического уравнения (24.2) с правой частью (24.4) при граничных условиях (24.9), в которые входят параметры зеркальности P1 и р2, в общем случае, зависящие как от энергии электрона, так и от угла падения электрона на поверхность.
Неравновесную часть функции распределения (k, z), входящую в (24.6), по аналогии с (9.38), представим в виде
и (к, Z) = -т (к) (V (к) Ф (к, Z)) (o/o/oe). (24.10)
В отличие от (9.38) в случае пленки, где учитывается поверхностное рассеяние, неизвестная функция Ф(к, z) зависит от координат z и kz. Тогда граничные условия (24.9) для функции Ф(к, z) будут следующими [12]:
