Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
Поверхностное рассеяние, как видно из (24.24) и (24.45), описывается интегралом I(pi, р2, s). Если параметры зеркальности pi и рг, входящие в этот интеграл, не зависят от угла падения 0 и, следовательно, от х, то (24.26) можно выразить через известные функции.
Действительно, если учесть, что при Pit 2<1*) величина
lptp2 ехр (—2м:) I < 1, (25.1)
то подынтегральный множитель • в (24.26) можно представить в виде
OO
[1 - P1P2 ехр (- 2®z)]-i = 1+2 (P1P2)'1 ехр (- Isnx). (25.2)
її—і
Подставляя (25.2) в (24.26) и учитывая, что pi и р2 от х не зависят, для интеграла I(pi, Рг, s) получим выражение
I(PliPnS) =
OO
= -^(1-? + [(2 -~p) P1P2 - р] 2 (PiP2)"-1 IE3 (2ns)-Eb (2ns)] +
ті—1
OO
. + (2р - P1P2 - 1) S (PiP2)"-1 IE3 ((2п - 1) s)-Eb ((2п - 1) в)],
П=1
(25.3)
*) Случай pi = р2= 1 автоматически исключается, так как при этом HPи Pi) = 0.
285" где
OO
En (s) = I х~т ехр (— sx) dx (25.4)
і
есть интегро-экспонендиальпая функция с комплексным параметром S [48].
Представление интеграла 1(р,, р2, s) в виде (25.3) удобно тем, что он выражен через известные функции Em(s). Применение асимптотики и таблицы этой функции [48] дает возможность исследовать влияние поверхностного рассеяния на кинетические эфт фекты при различных предположениях о толщине пленки и величине магнитного поля. Здесь рассмотрим некоторые частные случаи.
1. Толстые пленки (б»1) в произвольном магнитном поле или пленки почти произвольной толщины (6^1) в сильном магнитном поле (v»l). Толщина пленки и величина магнитного поля даются комплексным параметром s = 6(1 — iv). Легко видеть, что рассматриваемым случаям соответствует условие Isl = =-6У1 + V2 > 1. Тогда, еслп использовать асимптотическое разложение интегро-экспоненциальной функции [48] при больших значениях s, •
Em(S)-S-1 ехр (-5), (25.5)
то в (25.3) можно оставить только первый член, и для интеграла получим вещественное значепие простого вида
7(р„ р,) = (1-/0/4, (25.6)
не зависящего ни от толщины б, и ии от магнитного поля v.
Тогда из (24.24) и (24.25) для Dik имеем
^. = 1-??' (25'7)
Л.-I-1Vr^ (25.8)
Подставляя эти выражения в (24.21) — (24.23), для компонент тензоров проводимости получим
fa - к+If и - д /л шр«. - »<;-!»"-'>. (25.10)
X^-Xtft 8Г ^ \б (ГТ^Т (25.11)
і і, Jc = 1, 2,
__„ M DM M
где aiS, PthHXift— компоненты соответствующих тензоров в массивном образце, которые даются формулами (13.23) — (13.25).
286 . Таким образом, в предположении постоянства параметра зеркальности Pli2 = Const и Isl > 1, нахождение тензоров проводимости "сводится к' вычислению интегралов по энергии (25.9) — (25.11). Для заданного механизма рассеяния и закона дисперсии можно найти явный вид этих интегралов. Расчет доводится до конца в случае сильного вырождения даже для произвольной изотропной зоны. Однако полученные выражения для кинетических коэффициентов в пленке оказываются довольно громоздкими. Поэтому приведем окончательные результаты, полученные на основе (25.9) — (25.11), в некоторых конкретных условиях.
Толстые пленки в слабом магнитном поле. Разлагая в этом, случае (25.9) — (25.11) по степеням v 1 можно найти явный вид тензоров. Для параболической зоны и для модели Кейна они выражаются через одно- и двухпараметрические интегралы Ферми, соответственно. Но мы здесь приведем результаты для произвольной изотропной зоны, только предполагая, что электронный газ сильно вырожден. Для основных кинетических коэффициентов: сопротивления р, термо-э. д. с. а, электронной теплопроводности X и коэффициента Нернста — Эттингсгаузена Q эти результаты следующие [16]:
Рпл (H) = Рм (H) + (З (1 - p)/88f) Pm (0), (25.12)
обил (H) = ам (H) + ?- (ф-) 3J^lB (г - у (п)), (25.13)
Хпл (H) = Им (H) - 4 (v)2 Т°о (25-14)
Qm- <?. - 4 (4Н ^ ? (>¦ - 4- - * <4 (25-15>
где рм (H), ам (H), им (H) и Qri — коэффициенты для массивного образца в слабом магнитном поле (v<scl), бF = d/lF, O0 — электропроводность массивного образца, ?* — дается (14.42), параметр f (п) характеризует степень непараболичности зоны и дается (14.35). В двухзонном приближении Кейна, согласно (14.33), этот параметр имеет вид
3 ndm 2 %2тп(3п\)^
Y H = -^r =-^r-—• (25.16
т dn Bgtni ^
При отсутствии магнитного поля из (25.12) для сопротивления пленки получаем известный результат
Рпл (0)/рм (O)=I + 3(1-Л/8бк. (25.17)
Видно, что сопротивление пленки самое большое значение имеет при диффузном рассеянии электронов проводимости на поверхностях, когда pi = р2 = 0.
Отметим, что формула (25.17) справедлива для толстых пленок d > Ip с вырожденным электронным газом. В общем случае, для вырожденных пленок произвольной толщины, согласно
287" \РплМ
(24.12), отношение удельных сопротивлений пленки и массивного образца дается формулой
рпл(0)/рм(0) = [1-(3/2б)/(р1, р2, О)]-1, (25.18)
где I(pi, р2, 0)— имеет вид (24.26) при V = O.
На основе численного расчета (25.18), проведенного на ЭВМ, можно построить зависимость рпл(0)/рм(0) от приведенной толщины б = d/l во всей области толщин. Результаты этого расчета показаны на рис. 31, которые не зависят от модели изотропной зоны. Из этого рисунка видно, что в тонких пленках (б <0,1) сопротивление на порядок больше, чем в массивном образце. Асимптотическое поведение сопротивления в тонких пленках рассмотрено в пункте 2 настоящего параграфа.
