Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
Подставляя это выражение в (26.21), в первом приближении получим известный результат случая массивного образца (4.46), а в следующем приближении можно найти квантовую поправку за счет размерного квантования.
3. Полуметаллические размерно квантованные пленки. Полуметаллические пленки являются удобными объектами, на которых при низких температурах можно наблюдать и экспериментально исследовать квантовые размерные эффекты. Поэтому мы их рассмотрим здесь отдельно. Кроме того, эти пленки обладают рядом особенностей, которых нет в металлических или полупроводниковых пленках.
Полуметаллическую пленку рассмотрим в рамках простой модели. Допустим, что электроны проводимости и дырки в полуметалле являются независимыми частицами со скалярными эффективными массами тп и тпр, соответственно. Они движутся в потенциальных ямах с плоским дном и бесконечно высокими стенками (26.1). В условиях размерного квантования зона проводимости и валентная зона разбиваются на подзоны. Если энергию отсчитать от дна зоны проводимости в массивном образце (толщина пленки d = °°), то энергии электронов проводимости и дырок будут иметь вид
En (п, к J = E171M2 + %ik2L/2mn, (26.27
Ep (п', к'±) = En - ElpTi'2 - %*к\/2тр, (26.28)
где
Eln = (%V2mn) (я/сО2, Eip = (ft»/2mp) (я/Й)2, (26.29)
еп — перекрытие зон в массивном образце (см. рис. 50), d — толщина пленки, к± = (к% + к1)х/г, пап' принимают значения 1,2,3,... :
Видно, что при размерном квантовании, также как и в квантующем магнитном поле (§ 21 п. 6), дно зоны проводимости поднимается на величину. е17!, а потолок валентной зоны опускается на величину е1р. Такое смещение краев зон схематически
301" показано на рис. 41, а. Благодаря этому смещению перекрытие зон зависит от толщины d.:
е, (d) = еп - (eln + г1р) = е„ - (U2/2m*) (jt/d)2, (26.30)
где тп* = тпптпр/ (тпп + тп,)—приведенная масса системы электронов и дарок.
q 5
Рис. 41. Смещение краев зон в полуметаллическои пленке при размерном квантовании. С толщиной перекрытие зон уменьшается до пуля (при d = d), а при d < d возникает щель Sg(d) — полуметалл переходит в полупроводник: а) пленка в полуметаллической фазе; б) полупроводниковая
фаза
Из (26.30) следует, что с уменьшением толщины еп (d) уменьшается и при некоторой толщине d = d перекрытие исчезает совсем, т. е. еп(й) —0. Это условие для d дает
d = яй/(2т*еп)1/2. (26.31)
Дальнейшее уменьшение приводит к тому, что между дном зоны проводимости и потолком валентной зоны возникает щель — запрещенный участок энергии, по величине равный
e^W=?*{ч-)2-єп=єп(J-*)• d<~d- <2б-32>
Таким образом, рассматриваемая пленка при d> d находится в полуметаллическом состоянии, а при d< d она ведет себя как полупроводник. Переход полуметалл — полупроводник имеет место при толщине d = d. Положения краев зон в обоих фазах показаны на рис. 41.
Эти области толщин рассмотрим в отдельности. При низких температурах (для простоты .будем считать, что T = 0) электронный и дырочный газы в пленках с толщиной d>d вырождены. Тогда для концентрации электронов проводимости в пленке толщиной d можно использовать формулу (26.16), которую перепишем в виде
W = U 2 (г- - "2)' d > й (26"33>
^d тг=1 \ 1" /
где n. = [(Ueln)'/2]- ......
302 Аналогично для концентрации дырок p(d) имеем
/
где п'0 = [ Vr(En-Sr)Zeip].
Из условия нейтральности пэл(с!) = p(d), последние два выражения дают t,F(d)/eln = (еп — Sf(d) )/бір, т. е. Ue = Ti0. Отсюда легко получим выражение
^F(d) = (mp/(тп +тр))е п, d>d, (26.35)
что совпадает с (5.29).
Отсюда следует, что уровень Ферми не зависит от толщины пленки. Следовательно,-картина движения подзон при изменении толщины состоит в следующем: уровень Ферми Sf1 отсчитанный от дна зоны проводимости, в массивном образце при уменьшении d стоит на месте, а электронные и дырочные подзоны, двигаясь вверх и вниз, соответственно, пересекают этот уровень, причем при одной и той же толщине уровень Ферми пересекает электронные и дырочные подзоны с одним и тем же номером (Tl0 = п0). Уровень Ферми (26.35) остается постоянным, однако концентрация электронов и дырок с уменьшением толщины Падает. Используя (26.35), из (26.33) для концентрации носителей тока в полуметаллнческой фазе пленки с толщиной d получим выражение
n^(d) = p(d) = (n/l2d3)nl}[6(d/d)1 ~(п0 + 1) (2n„+ 1)], d>3,
(26.36)
где п0 = [d/d\ — целая часть числа d/3.
Формулу (26.36) легко можно представить в виде
(26.37)
где Tigj1 (°°) — концентрация электронов проводимости в массивном полуметалле при T = 0 (5.30).
Из последних формул видно, что когда_ толщина d = d, т. е. O0 = I, концентрация носителей тгэл (d) = р (d) = 0. Однако следует отметить, что такое стремление концентраций к нулю с уменьшением толщины" немонотонно, так как па принимает только целые, значения. При толщинах, когда отношение did принимает целые значения, nall(d) меняется скачком.
Теперь рассмотрим пленку в полупроводниковой фазе <2 < d (рис. 41). При толщинах d <d полуметалл ведет- себя как собственный полупроводник с шириной запрещенной зоны (26.32). В этом случае концентрация носителей тока отлична от нуля только при конечных температурах (Т?=0) и определяется
