Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
ехр ^?? (21.51)
Kt
(2mnk0Tf> Vtt
Заметим, что (21.51) можно получить непосредственно из (21.48), ограничиваясь первым членом суммирования TV = 0. Такое состояние, когда электроны находятся на нулевом уровне Ландау, носит название квантовый предел. Таким образом, для невырожденного электронного газа квантовый предел реализуется при 2цН^>к0Т, а критерий отсутствия вырождения ехр((^-рЯ)//со7,)<"1, согласно (21.51), имеет явный вид
[4 кшЪ3п/ (2mnkJ)3/2] (&0772цЯ) < 1.
(21.52)
Видно, что в квантовом пределе увеличение Магнитного поля способствует выполнению критерия отсутствия вырождения электронного газа. Это видно, также из (21.51), если переписать его в виде
к0Т In
4 пл3'Ч3
(2mUkJ)
3/2
j - A0T In
2 уН
V
(21.53)
235" Отсюда следует, что расстояние между уровнем химического потенциала и дном зоны проводимости в магнитном поле (? — \іН) за счет последнего члена растет с увеличением магнитного поля.
Для любой степени вырождения из (21.47) невозможно аналитически найти химический потенциал ? = ? (n, Н, Т). Поэтому теперь рассмотрим другой предельный случай — вырожденный электронный газ с заданной концентрацией п. В этом случае (—Of0Zde) заменим б (є — ^-функцией и из (21.47) будем иметь
п=к—ZLrlIH Zfc(H)-PN+ ЦрН]*'*.. (21.54)
При H-*- Ob (21.54) от суммы по N можно перейти к интегрированию и легко получить границу Ферми ?(0) в отсутствие магнитного поля (4.13).
Последняя формула дает возможность определить t,(n, Н) для вырожденного электронного газа при любом значении магнитного поля. Простую аналитическую зависимость ? (п, Н) можно получить только в области квантового предела, где электроны находятся па напнизшей параболе Ландау с номером N = 0. В случае квантового предела ? (Я) < Зр/7, и в (21.54) нужно ограничиться только членом с TV = O. Тогда из (21.54) легко получим
l(H, п) = р.#[1 + 3(?(0)/3|дЯ)3], (21.55)
где ? (0) = (%2/2тп) (Зп2п)2/3 — граница- Ферми при H = 0 [см. (4.13)]. Х
Видно, что в области квантового предела (?(//) <3р#) можно найти связь границы Ферми в магнитном поле ? (H) с границей
Ферми 5(0) при Н = 0. Из (21.55) легко показать, что в этой области t,(H, п) всегда больше ?(0) [рис. 28]. При И °° граница Ферми ? (H)-* р(H) и все электроны «конденсируются» па уровень Ландау с N = 0. Поскольку все уровни в магнитном поле, в том числе уровень с TV = 0, вырождены с кратностью (21.39), то число квантовых состояний на уровне TV = 0 достаточно для нахождения в нем всех электронов. Такое экстремальное распределение электронов соответствует картине на рис. Zb, где радиус цилиндра, на поверхности которого расположены электроны, больше, чем радиус сферы Ферми при H = 0. В пределе H -*- °° высота этого цилиндра стремится к нулю, а радиус r0 = R-1 -»- °о. В таком состоянии движение электро-
Рис. 28. Зависимость границы Ферми электронного газа с заданной концентрацией от магнитного поля
236" на вдоль магнитного поля полностью отсутствует, т. е. kz = 0. Заметим, что описанная картина распределения имеет место при заданной концентрации электронного газа п = const.
Формула (21.55) справедлива в области магнитного поля, ограниченной снизу условием квантового предела ? (H) < ЗрЯ, т. е.
3'цЯ> (3/2)1/3?(0), (21.56)
а сверху критерием сильного вырождения [1(H)— р(Я)] > к0Т, т. е.
?(0)//с„Г(?(0)/ЗрЯ)2» 1. (21.57)
Из последнего неравенства видно, что в квантовом пределе увеличение магнитного поля приводит к нарушению критерия вырождения, т. е. способствует снятию вырождения. Это обстоятельство связано с тем, что плотность состояния пропорциональна H [см. (21.38)]. Поэтому с ростом магнитного поля у дна зоны проводимости помещается больше электронов п тем самым уменьшается граничная энергия Ферми.
Если объединить последние два условия, то получим неравенства, определяющие область магнитного поля, где электронный газ сильно вырожден и имеет место квантовый предел
(3/2) (0)/Зц < H «(Б (0) /Зц) (Б (O)ZkoT)1/2, (21.58)
т. е. в этой области формула (21.55) верна.
Используя формулу (4.25) для вычисления температурного размытия границы Ферми, с точностью до (к0Т)2 получим
UH, T) = UH, 0) + (п2/12)(/с0Г)7(?(Я)-рЯ). (21.59)
Заметим, что температурная поправка в (21.59) и (4.26) отличается знаком. Это связано с тем, что в квантовом пределе плотность состояний с ростом энергии уменьшается (правая ветвь на рис. 27), так как электронный газ ведет себя как одномерный. Поэтому электроны, находящиеся в энергетическом интервале к0Т ниже границы Ферми, возбуждаясь тепловым движением, занимают более широкий интервал энергии, чем к0Т, и, следовательно, среднее положение уровня Ферми ? (Н, Т) находится выше, чем при абсолютном нуле температуры. Поскольку в отсутствие магнитного поля плотность состояния go(e) растет с энергией (см. рис. 27), то I(T) должен находиться ниже, чем ?(0) [см. (4.26)].
Мы нашли связь (21.55) между границей Ферми в магнитном поле ? (H) и без магнитного поля ? (0) в квантовом пределе, когда ниже границы ? (H) имеется всего один уровень Ландау с N = 0. В том случае, когда под границей Ферми находятся два и больше уровней Ландау, то из (21.54) трудно найти эту связь аналитически для всей области магнитного.поля. Однако это можно сделать для дискретных значений Н, при которых граница Ферми ? (H) совпадает с каким-нибудь уровнем Ландау. Допустим номер этого уровня есть N. Тогда ? (Hn) = (2N + 1) \iHN.
