Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, вышеприведенные результаты позволяют исследовать анизотропию рассеяния в электронном германии и в халькогенидах свинца, а также в электронном кремнии.Г л а в а 6
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В КВАНТУЮЩИХ МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
Мы изложили классическую теорию явлений переноса на основе решения кинетического уравнения. Как было показано в § 8, это уравнение, и следовательно, все результаты, вытекающие из его решения, справедливы только в том случае, когда ддина де-бройлевской волны К, соответствующей свободному движению носителей тока, намного меньше длины свободного пробега I и радиуса циклотронной орбиты г, т. е. когда A<! и Ж г. Обметим, что при этом отношение Ifr может быть любое, т. е. Ifr = = Qt = V может иметь произвольные значения.
Из сказанного следует, что изложенную в предыдущих главах теорию явлений переноса нужно развить в двух направлениях.
Во-первых, когда нарушается первое неравенство и длина свободного пробега становится одного порядка с длиной волны де Бройля I^. К, то многие классические представления о механизме- проводимости теряют смысл, носители тока сильно взаимодействуют с кристаллической решеткой и природа проводимости носит чисто' квантовый характер. Развитие теории кинетических эффектов в этом направлении привело к созданию теории малой подвижности. Это довольно большая самостоятельная область квантовой теории проводимости. Здесь на этих вопросах мы останавливаться не будем.
Во-вторых, когда нарушается второе условие п радиус циклотронной орбиты носителей тока г < К, то орбитальное движение в плоскости, перпендикулярной направлению магнитного поля, квантуется и спектр носителей тока становится частично дискретным. В этом случае теория проводимости также носит квантовый характер. Теория в этом направлении интенсивно развивалась с начала шестидесятых годов и возникла квантовая теория явлений переноса в квантующих магнитных полях. В настоящей главе изложены основные положения и результаты теории, учитывающей квантование движения носителей тока в магнитном поле. В начале главы приведен энергетический спектр и функции плотности состояний. На основе этого спектра рассмотрена статистика носителей тока в квантующем магнитном поле и определены критерии вырождения в условиях квантования движения.
223"В двух последних параграфах изложена квантовая теория гаЛь-ваномагнитных и термомагнитных явлений в полупроводниках. Рассмотрены как параболическая, так и непараболическая зоны.
§ 21. Энергетический спектр и статистика
носителей заряда в квантующих магнитных полях
Задача о движении электрона в однородном магнитном поле на основе квантовой механики впервые была решена Ландау [1] в связи с определением диамагнитной восприимчивости свободных электронов в металлах. Им было показано, что спектр электрона в однородном магнитном поле становится дискретным, т. е. круговое движение электрона в плоскости, перпендикулярной полю, квантуется.
На магнитных свойствах электронного газа мы останавливаться здесь не будем. В этом параграфе вычислим только химический потенциал и определим критерии вырождения в квантующем магнитном поле. Для этого необходимо знать спектр энергии II функцию плотности состояний в магнитном поле.
1. Энергия электрона проводимости в магнитном поле. Рассмотрим движение электрона проводимости с эффективной массой т„ во внешнем постоянном однородном магнитном поле Я. Пока не будем учитывать спин электрона. Тогда гамильтониан электрона в магнитном поле в приближении эффективной массы будет иметь вид
УЧ
где р = — ifcV — оператор импульса, є — величина заряда электрона, А — вектор-потенциал магнитного поля.
Координатную ось z направим по внешнему магнитному полю. Тогда Hx = Hy- 0, IL = H. Такому магнитному полю соответствуют различные калибровки вектор-потенциала А. Выберем следующую калибровку:
Ac = O, Ay = Hx, Az = 0, (21.2)'
тогда гамильтониан (21.1) примет вид
Ж = (1/2тп) [Й + Qy + TnnQxf + pi], (21.3)
где Q = еН/тПпС — циклотронная частота.
Поскольку гамильтониан (21.3) коммутирует с операторами Pv и Pz, то сохраняются у-я и z-я компоненты импульса, которые имеют следующие собственные значения: ру = %ку и Pz= %kz, где Ay и кг — соответствующие компоненты волнового вектора к. Поэтому движение электрона по направлениям у иг описывается плоской волной и решение уравнения Шредингера
Ж^ = г\р (21.4)
224"можно искать в виде [2]
^(г) = ці(х)ехтр[і(куу + kzz)]. (21.5)
Подставляя это решение в (21.4), с учетом (21.3) получим уравнение для неизвестной функции ф(ж):
— hr ТІ + 4" m"Q2 (х ~ хо)2 Ф = ЕЛ'Ф' (21-6)
лтпdx ь
где введены обозначения
X0 = — HkyfQmn, Bn = є — %2kl/2mn. (21.7)
Заметим, что (21.6) есть уравнение линейного гармонического осциллятора с частотой й = еН/тпс с центром х = х0, собственные функции и собственные значения которого есть
\2 1
J IX — X \ Г і /х
<р (X-X0) = Z-F^Hn (^-Tj-2J ехр [ —
(21.8)
у R \ R J1I 2 [ R Ejv = (N + 1/2) RQ, (21.9)
где .V = O, 1, 2, 3 ... — осцилляторное квантовое число, Hn — полином Эрмита N-TO порядка,