Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
Влияние квантования движения в магнитном поле на энергетический спектр электрона на оспове (21.11) схематически показано на рис. 26. Видно, что в спектре появляются дискретные уровни, отделенные друг от друга расстоянием Ш1- Эти уровни
*) Множитель 2 учитывает положительное и отрицательное направления кг.
15* 227 носят название уровней Ландау. Для данного уровня энергия непрерывно зависит только от kz, т. е. имеют место одномерные нараболические энергетические зоны, которые соответствуют вышеуказанным цилиндрическим поверхностям (см. рис. 25,а). Причем, абсцисса точки пересечения N-й параболы с уровнем є» соответствует высоте N-TO цилиндра, а разность е0 — (N + 1/2)МЇ определяет радиус того же цилиндра. Дно зоны проводимости
Рис. 26. Зависимость энергии от волнового вектора: а) в отсутствие магнитного поля и б) /при наличии магнитного поля появляются дискретные уровни Ландау и одномерные зоны
поднялось на величину %Q/2, и увеличилась ширина запрещенной зоны. Другими словами, в объеме k-пространства внутри первого возможного цилиндра с радиусом Alo = R*1 и высотой kz0 = (2 (2тп)1/2/П) (е0 - (Ш/2))1/2 не имеется пи одного электронного состояния.
2. Спиновое расщепление. Эффективный #*-фактор. Учет спина электрона приводит к дополнительному члену \ігН в гамильтониане (21.3), где ^z =— |Я0(ог/о)— проекция собственного магнитного момента по направлению магнитного поля, связанная со спином, Oz — оператор спина с собственным значением о = = ±1/2, = е%/2т0с—магнетон Бора, т-0 — масса свободного электрона. Поскольку оператор спина Sz коммутирует с гамильто-нріаном (21.3) и оператор взаимодействия \izH не зависит от координат, то Sz сохраняется, и в.уравнении Шредингера (21.4) спиновые и координатные переменные разделяются. Поэтому собственные функции электрона с учетом спина получаются из (21.5) умножением па спиновые волновые функции, соответствующие определенным значениям проекции спина о = ±1/2. При этом к собственным значениям энергии (21.11) прибавляется дополнительный член, соответствующий энергии собственного магнитного момента в магнитном поле. Тогда энергия электрона в магнитном поле с учетом спина
е (N, kz, o) = (N + 1/2) т + П2к\/2тп + OgaiI0H, (21.18)
228" где go = 2 есть фактор спинового расщепления энергии свободного электрона. Видно, что каждый уровень Ландау расщепляется на два спиновых подуровня и число парабол є = eNo(Jcz) удваивается, причем величина расщепления N-то уровня
Ae = є (N, 1/2)— є (N, —1/2) = g0\i0H. (21.19)
Закон дисперсии (2.18) перепишем в виде
кг (є, N, о) = ( /К/1) Vb - (N + 1/2) Ш - Og0V0H. (21.20)
Отметим, что именно эту функцию нужно знать ДЛЯ изучения термодинамических и кинетических свойств электронного газа.
Мы привели здесь спектр энергии электрона в отделенной зоне в приближении эффективной массы в магнитном поле. В этом случае, зависимость r(N, о, kz) от Itz параболична. Если рассмотреть задачу о спектре с учетом взаимосвязи некоторого числа зон, то эта зависимость становится непараболичнон, а также изменяется величина спинового расщепления энергии.
Задача Кейна — отыскание спектра с учетом взаимодействия трек зон: зоны проводимости, зоны легких дырок и спин-орби-тально расщепленной зоны — в магнитном поле была рассмотрена в работе Бауерса и Яфета [3], а при наличии и электрического поля в работе [4]. В результате, для определения энергии, вместо уравнения Кейна (3.10), было получено Следующее уравнение:
е' (e' + sg) (e' + A0 + Eg) - Wє' + є, + 4 А0Ї X
X
1Ol
(N + 1/2) + /сгj + о -^f- -P2 = 0; (21.21)
здесь энергия отсчитана от дна зоны проводимости при отсутствии магнитного поля, многие обозначения общепринятые, а
є' = є — є0 - Qg0H0H; є0 = (N + 1/2) AQ0 + h2kl/2m0, (21.22)
где Q0 = єН/тп0с — циклотронная частота свободного электрона с массой тп0.
Матричный элемент Р, определенный в (3.11), выражается через эффективную массу на дне зоны проводимости в отсутствие магнитного поля тпп и другие параметры зоны (es и A0) соотношением (3.18), т. е.
п Zg + 2/ЗА0 [ mO J .
Одно из решений кубического уравнения (21.21) дает закон дисперсии зоны проводимости, а остальные два соответствуют зоне легких дырок и спин-орбитально расщепленной зоне. Аналитически найти все три корня уравнения (21.21) невозможно. Поэтому следует рассмотреть приближенные ситуации. В приближении
e'<Ea+2/3A0 (21.24)
229" (21.21) превращается в квадратное уравнение. Решение этого уравнения, описывающее зону проводимости, имеет вид
в„
є (N, kz, а) = є0 + agQ\i0H — -f +
+
,2
1 +
2Д„,
Єп Єл
3., + 24,
-?-11МГ)
х/а
(21.25)
где є0 дается (21.22), а Btl = (JV + 1/2) Ш + %2k2z/2mn, Q = еН/тпс, а = ± 1/2. (21.26)
В случае ег»є„ выражение (21.25) превращается в параболический закон дисперсии е(кг), при заданном N и а.
Из (21.25) можно определить спиновое расщепление уровня Ландау с номером N, характеризуя его эффективным ?*-факторои
є(N, 1/2)-є (N, -1/2) = g*ii0H. (21.27)
Полагая кг = 0 (дно зоны Ландау) из (21.25) и (21.27) для эффективного #*-фактора получим выражение
