Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
R = (HfQmn) 1/2 = (HcfeH)V (21.10)
— так называемая магнитная длина.
В результате, подставляя (21.9) в (21.7), для энергии, а также для волновой функции электрона в магнитном поле, направленном вдоль оси z, получим следующие выражения:
є =з є (Ж, kz) = (TV + 1/2) %Q + Ъ?к\/2тп, (21.11)
^MO = Ф*(Z-Zo)exp [i(fc, У + kzz)], (21.12)
где a = (N, ky, kz) — набор квантовых чрсел, определяющих состояния электрона в магнитном поле, срл (х — х0)—нормированная волновая функция линейного гармонического осциллятора с квантовым числом N1 колеблющегося' около положения равновесия
X0 = - HkyfQmn = - R2ky. (21.13)
Из (21.12) следует, что координаты х и у в г|за(г) входят несимметрично, хотя задача сама симметрична и выделено только направление z, по которому имеется магнитное поле. Видно, что по направлению х положение электрона локализовано, а по у оно не локализовано. Это связано с тем, что операторы, соответствующие координатам центра окружности в плоскости, перпендикулярной направлению магнитного поля X0 = —pv/Qmn и уа~ = (pJQmn) +- у, не коммутируют друг с другом, т. е. координаты центра окружности X0 и у0 не могут иметь одновременно определенные значения [2]. Таким образом, локализация положения электрона в магнитном поле может иметь место только -по одному направлению, а именно по«какому (а; или у), зависит от выбора
15 Б. М. Аскеров 225 калибровки вектор-потенциала. При нашем выборе калибровки (21.2) локализация имеет место по направлению х. Если бы мы выбрали другую калибровку, например, Ax = -Hy, Av = Az = О, что также соответствует магнитному полю H (О, О, Hлокализация имела бы место по направлению у. '
Спектр электрона в магнитном поле, как видно из (21.11), становится частично дискретным. Энергия (21.11) состоит из двух частей: одна — непрерывно зависящая от кг, соответствующая движению электрона вдоль магнитного поля, и вторая — дискретная, соответствующая квантованию кругового движения в плоскости, перпендикулярной магнитному полю.
Используя принцип соответствия, можно наглядно представить квантование движения в квазиклассическом приближении. Согласно классической физике допустимы любые значения энергии Ej_, связанной с движением в плоскости, перпендикулярной магнитному полю. Поскольку е± связана с радиусом орбиты г простым соотношением = TnnV2x/2 = mnQ2r2/'2, то возможны любые круговые орбиты с радиусом г. С точки зрения квантовой механики, согласно (21.11), &± = (N + 1/2)^Q, т. е. энергия поперечного движения не может принимать любые значения. Если привести в соответствие эти два выражения для энергии, то получим, что возможны только" орбиты с радиусами
rN = (2N + 1) 1/2ff, W = O1 1, 2, 3, ... (21.14)
Отсюда видно, что магнитная длина (21.10) есть радиус первой возможной "орбиты R = r0. Таким образом, по квазиклассиче-ским представлениям электрон может вращаться вокруг магнитного поля по дискретным орбитам с радиусами (21.14). Для перехода электрона с одной орбиты на соседнюю с большим радиусом необходимо затратить энергию IiQ,.
Мы увидели, что в г-пространстве квантование соответствует наличию дискретных орбит, причем для данного магнитного поля имеется орбита с минимальным радиусом R. Интересно рассмотреть, как йзменяется распределение состояний электрона в k-пространстве при квантовании движения. Известно, что в простом параболическом" случае состояния электрона с энергиями меньше Єс в k-пространстве при отсутствии магнитного поля непрерывно заполняют сферу с радиусом к = (1/?) (2тпг0)^2. В магнитном поле, направленном" по оси z, часть энергии Ti2k2z/2mn не меняется, а энергии %2к\/2тп соответствует выражение (N + 1/2) Mi. Из этого соответствия следует, что возможны только дискретные значения к±, а именно "
к± k±N — (2N + 1) i/zR_1, # = 0,1,2,3... (21.15)
где R — магнитная длина (21.10).
Это означает, что все состояния, непрерывно заполняющие объем внутри сферы е0 = const, при наличии, магнитного поля нахбдятся только на поверхностях коаксиальных дискретных цилиндров с осью, параллельной кг, с радиусами (21.15) (см.
226" рис. 25, а). Высота возможного цилиндра с номером N для заданного значения энергии электрона Єо равна *)
kzN = [2 {2тп)т/П] [е0 - (N + 1/2) Ш]1/г. (21.16)
Поскольку высота должна быть вещественной, то максимальное число возможных цилиндров, соответствующих энергиям, меньшим ев, равно целой части дроби
¦(HQ/2) j
Ш
= Nn
(21.17)
Отсюда видно, что число цилиндров внутри сферы єо = const уменьшается с ростом магнитного поля.
Рис. 25. Изменение распределения квантовых состояний в магнитном иоле
Таким образом, согласно квазиклассике, при наличии квантующего магнитного поля все состояния электрона с энергиями, меньше чем є, в k-пространстве находятся на поверхностях коаксиальных цилиндров с осью по kz, с радиусами (21.15) и высотами (21.16) (см. рис. 25,а), число которых определяется (21.17).
Следует отметить, что такое квазиклассическое представление о распределении состояний в магнитном поле справедливо в том случае, когда внутри данной изоэнергетической поверхности E0 = const помещаются хотя бы несколько цилиндров, т. е. ЭДпах > 1. При сильных магнитных полях.в указанной сфере помещается всего одип цилипдр и в пределе 'H-*- oo радиус этого цилиндра к±о = R°° и станет больше радиуса сферы к = == (1/Й) (2ffine0)1/2, а высота его будет стремиться к нулю, т. е. все состояния в предельно сильном магнитном поле будут находиться на поверхности узкого кольца с большим радиусом к 10 = = R-1 = (еН/Ъс)1'2 (см. рис. 25, б).
